Question

（2011•歷下區(qū)二模）如圖①，矩形ABCD被對角線AC分為兩個直角三角形，AB=4，BC=8．現將Rt△ADC繞點C順時針旋轉90°，點A旋轉后的位置為點M，點D旋轉后的位置為點N．以C為原點，以BC所在直線為x軸，以過點C垂直于BC的直線為y軸，建立如圖②的平面直角坐標系．
（1）求直線AM的解析式；
（2）將Rt△MNC沿x軸的負方向平行移動，如圖③．設OC=x（0＜x≤12），Rt△MNC與Rt△ABO的重疊部分面積為S；
①當x=2與x=10時，求S的值；
②S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據旋轉的性質，求出A（-8，4），M（4，8）的坐標，再根據待定系數法求出一次函數解析式；
（2）①當x=1時，如圖1，重疊部分為△POC，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方進行解答；②當x=10時，如圖2，重疊部分為梯形NQAB，根據梯形的面積公式解答；
（3）①顯然，畫圖分析，從圖中可以看出：當0＜x≤4與10＜x≤12時，不會出現s的最大值；
②當4＜x≤8時，由圖3可知：當x=8時，s最大；
③當8＜x≤10時，如圖4，表示出各三角形的面積，再將s表示為S_△OCN-S_△OFM-S_△BCG，轉化為關于x的二次函數，根據二次函數的最值問題解答．

解答：解：（1）AB=4，BC=8，根據旋轉的性質可得：A（-8，4），M（4，8），
設函數解析式為y=kx+b（k≠0），
把A（-8，4），M（4，8）分別代入解析式得：

-8k+b=4 4k+b=8

，
解得：

k= 1 3 b= 20 3

，
則直線AM解析式為y=

1

3

x+

20

3

；

（2）①當x=2時，如圖1，重疊部分為△POC，
∵Rt△POC∽Rt△BOA，且S_△AOB=

1

2

AB•OB=16，OC=2，OA=

AB2+OB2

=4

5

，
∴

S

S△AOB

=（

OC

OA

）²，即

S

16

=（

2

4 5

）²=

1

20

，
解得：S=

4

5

；
②當x=10時，如圖2，重疊部分為梯形NQAB，

可得：ON=OC-CN=10-4=6，BN=OB-ON=8-6=2，
又∵△ONQ∽△OBA，
∴

NQ

AB

=

ON

OB

，即

NQ

4

=

6

8

，
∴NQ=3，
∴S=

1

2

（QN+AB）•BN=

1

2

×（3+4）×2=7；

（3）如圖所示：

①顯然，畫圖分析，從圖中可以看出：當0＜x≤4與10＜x≤12時，不會出現S的最大值；
②當4＜x≤8時，由圖3可知：當x=8時，S最大，
∵△OBF∽△OAB，
∴

OB

OA

=

BF

AB

=

OF

OB

，即

8

4 5

=

BF

4

=

OF

8

，
∴BF=

8 5

5

，OF=

16 5

5

，
又∵△OEN∽△OAB，且ON=OB-BN=8-4=4，
∴

ON

OB

=

EN

AB

，即

4

8

=

EN

4

，
∴EN=2，
此時S_△OBF=

1

2

BF•OF=

64

5

，S_△OEN=

1

2

EN•ON=4，
∴S=S_△OBF-S_△OEN=

64

5

-4=

44

5

；
③∵當8＜x≤10時，如圖4，S_△OCF=

x2

5

，S_△OEN=

(x-4)2

4

，S_△BCG=（x-8）²，
∴S=S_△OCF-S_△OEN-S_△BCG=

x2

5

-

(x-4)2

4

-（x-8）²=-

21

20

x²+18x-68=-

21

20

（x-

60

7

）²+

64

7

，
當x=

60

7

時，S最大值為

64

7

．
綜上，當x=8時，S最大值為

44

5

；當x=

60

7

時，S最大值為

64

7

．

點評：此題考查了相似形綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，待定系數法確定函數解析式，二次函數的性質，