Question

12．平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系
（1）已知AB平行于CD，如a圖，當(dāng)點(diǎn)P在AB、CD外部時(shí)，∠BPD+∠D=∠B即∠BPD=∠B-∠D，為什么？請(qǐng)說明理由．如b圖，將點(diǎn)P移動(dòng)到AB、CD內(nèi)部，以上結(jié)論是否仍然成立？若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明結(jié)論；
（2）在圖b中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖c，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求圖d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）①利用平行線的性質(zhì)和三角形的外角即可；②利用平行線的特點(diǎn)作出平行線，再利用平行線的性質(zhì)即可；
（2）利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角的和即可；
（3）利用三角形的外角的性質(zhì)把角轉(zhuǎn)化到四邊形CDHM中，用四邊形的內(nèi)角和即可．

解答 解：（1）①∵AB∥CD，
∴∠B=∠COP，
∵∠COP=∠BPD+∠D，
∴∠B=∠BPD+∠D，
即：∠BPD=∠B-∠D，
②不成立，
結(jié)論：∠BPD=∠B+∠D，
理由：如圖b，

過點(diǎn)P作PG∥AB，
∴∠B=∠BPG，
∵PG∥AB，CD∥AB，
∴PG∥CD，
∴∠DPG=∠D，
∴∠BPD=∠BPG+∠DPG=∠B+∠D；
（2）結(jié)論：∠DPQ=∠B+∠BQD+∠D，
理由：如圖c，

連接QP并延長，
∵∠BP∠G是△BPQ的外角，
∴∠BPG=∠B+∠BQP，
同理：∠DPG=∠D+∠DQP，
∴∠BPD=∠BPG+∠DPG=∠B+∠BQP+∠DQP+∠D=∠B+∠BQD+∠D；
（3）如圖d，

∵∠DHM是△BFH的外角，
∴∠DHM=∠B+∠F，
同理：∠CMH=∠A+∠E，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠DHM+∠CMH+∠C+∠D=360°．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形的性質(zhì)，主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，三角形的外角的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和，解本題的關(guān)鍵是作出輔助線，是一個(gè)比較簡單也比較典型的中考�？碱}．