Question

6．如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“奇特數(shù)”，例如：8=3²-1²，16=5²-3²，24=7²-5²；則8、16、24這三個數(shù)都是奇特數(shù)．
（1）32和2008這兩個數(shù)是奇特數(shù)嗎？為什么？
（2）設兩個連續(xù)奇數(shù)是2n-1和2n+1（其中n取正整數(shù)），由這兩個連續(xù)奇數(shù)構造的奇特數(shù)是8的倍數(shù)嗎？為什么？
（3）兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差（取正數(shù)）是奇特數(shù)嗎？為什么？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)32=9²-7²，以及8、16、24這三個數(shù)都是奇特數(shù)，他們都是8的倍數(shù)，進行判斷．
（2）列式并利用平方差公式計算，得到兩個連續(xù)奇數(shù)構造的奇特數(shù)是8的倍數(shù)；
（3）兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差（取正數(shù)）不是奇特數(shù)，列式得到兩個連續(xù)偶數(shù)構造得奇特數(shù)不是8的倍數(shù)．

解答 解：（1）32這個數(shù)是奇特數(shù)．因為32=9²-7²，
∵8、16、24這三個數(shù)都是奇特數(shù)，他們都是8的倍數(shù)，2008是8的倍數(shù)，
∴2008這個數(shù)是奇特數(shù)；
（2）兩個連續(xù)奇數(shù)構造的奇特數(shù)是8的倍數(shù)，理由如下：
（2n+1）²-（2n-1）²=（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）=4n×2=8n；
（3）兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差（取正數(shù)）不是奇特數(shù)，理由為：
（2n-2）²-（2n）²=（2n-2+2n）（2n-2-2n）=-4（2n-1），不是8的倍數(shù)．

點評 此題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解本題的關鍵．