Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=

3

4

x-

3

2

交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，經(jīng)過點(diǎn)A的拋物線y=

3

4

x²+bx+c交直線AB另一點(diǎn)D，且點(diǎn)D到y(tǒng)軸的距離為8．
（1）求拋物線解析式；
（2）點(diǎn)P是直線AD上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，（不與點(diǎn)A、D重合），過點(diǎn)P作PE⊥AD于E，過點(diǎn)P作PF∥y軸交AD于F，設(shè)△PEF的周長為L，點(diǎn)P的坐標(biāo)為m，求L與m的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量m的取值范圍；
（3）在圖（2）的條件下，當(dāng)L最大時(shí)，連接PD．將△PED沿射線PE方向平移，點(diǎn)P、E、F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為Q、M、N，當(dāng)△QMN的頂點(diǎn)M在拋物線上時(shí)，求M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，并判斷此時(shí)點(diǎn)N是否在直線PF上．
（參考公式：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（c≠0）．當(dāng)x=-

b

2a

時(shí)，y_{最大（小）值}=

4ac-b2

4a

）

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)題意得出D點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；
（2）利用B（0，-

3

2

），D（-8，-

15

2

），則OB=

3

2

，OC=

15

2

，得出BC=6，設(shè)點(diǎn)P與F的橫坐標(biāo)為m，∠PFE=∠DBC，則P（m，

1

4

m²-

3

4

m+

5

2

），F(xiàn)（m，

3

4

m-

3

2

），由

L

△BCD的周長

=

PF

BD

，求出即可；
（3）利用配方法得出P（-3，

5

2

），PK=

5

2

，PF=

25

4

，則KF=

15

4

，利用△OAB∽△KAF，以及△PEF∽△BCD，進(jìn)而得出點(diǎn)B，E重合，即可得出M點(diǎn)橫坐標(biāo)進(jìn)而得出答案．

解答：解：（1）由題意知：A（2，0），B（0，-

3

2

），
過D作DC⊥y軸于C，則DC=8，
∴點(diǎn)D在y=

3

4

x-

3

2

上，
∴y=

3

4

×（-8）-

3

2

=-

15

2

，
∴D（-8，-

15

2

），
∵點(diǎn)A（2，0），D（-8，-

15

2

）在拋物線上，
∴

0=- 1 4 ×22+2b+c - 15 2 =- 1 4 ×(-8)2-8b+c

，
解得：

b=- 3 4 c= 5 2

，
∴拋物線解析式為：y=-

1

4

x²-

3

4

x+

5

2

；

（2）∵B（0，-

3

2

），D（-8，-

15

2

），
∴OB=

3

2

，OC=

15

2

，
∴BC=6，在Rt△BCD中，BD=10，△BCD的周長為24，
∵PF∥y軸，
∴點(diǎn)P與F的橫坐標(biāo)為m，∠PFE=∠DBC，
∴P（m，

1

4

m²-

3

4

m+

5

2

），F(xiàn)（m，

3

4

m-

3

2

），
∴PF=-

1

4

m²-

3

2

m+4，
∵PE⊥AD，DC⊥y軸，
∴

L

△BCD的周長

=

PF

BD

，
L=-

3

5

m²-

18

5

m+

48

5

（-8＜m＜2）；

（3）L=-

3

5

m²-

18

5

m+

48

5

=-

3

5

（m+3）²+15，
∵-

3

5

＜0，
∴當(dāng)m=-3，L最大，
∴P（-3，

5

2

），PK=

5

2

，PF=

25

4

，
∴KF=

15

4

，
∵A（2，0），B（0，-

3

2

），
∴OA=2，OB=

3

2

，
在Rt△OAB中，AB=

OA2+OB2

=

5

2

，
∵OB∥FK，
∴△OAB∽△KAF，
∴

AB

AF

=

OB

KF

，
∴AF=

25

4

，∴BP=

15

4

，
∵△PEF∽△BCD，
∴

EF

BC

=

PF

BD

，
∴EF=

15

4

，
∴點(diǎn)B，E重合，
∵P（-3，

5

2

），B（0，-

3

2

），
∴直線PB的解析式為：y=-

4

3

x-

3

2

，
則令M點(diǎn)坐標(biāo)為：（n，-

4

3

n-

3

2

），
點(diǎn)M在拋物線y=-

1

4

x²-

3

4

x+

5

2

上，
∴-

4

3

n-

3

2

=-

1

4

n²-

3

4

n+

5

2

，
整理得：（n+3）（3n-16）=0，
解得；n₁=-3（舍去），n₂=

16

3

，
∴M點(diǎn)橫坐標(biāo)為：

16

3

，
∵點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為0，M點(diǎn)橫坐標(biāo)為：

16

3

，
∴△PED向右平移了

16

3

個(gè)單位長度，
∴點(diǎn)D也向右平移了

16

3

個(gè)單位長度，
∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為：-8+

16

3

≠-3，
又∵直線PF上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：-3，
∴點(diǎn)N不在直線PF上．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及圖形的平移等知識(shí)，得出M點(diǎn)橫坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．