Question

16．如圖，BD是△ABC的角平分線，它的垂直平分線分別交AB，BD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，連接ED，DG．
（1）請(qǐng)判斷四邊形EBGD的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2$\sqrt{10}$，點(diǎn)H是BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求HG+HC的最小值．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論四邊形EBGD是菱形．只要證明BE=ED=DG=GB即可．
（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，連接EC交BD于點(diǎn)H，此時(shí)HG+HC最小，在RT△EMC中，求出EM、MC即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）四邊形EBGD是菱形．
理由：∵EG垂直平分BD，
∴EB=ED，GB=GD，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠EBD=∠DBC，
∴∠EDF=∠GBF，
在△EFD和△GFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDF=∠GBF}\\{∠EFD=∠GFB}\\{DF=BF}\end{array}\right.$，
∴△EFD≌△GFB，
∴ED=BG，
∴BE=ED=DG=GB，
∴四邊形EBGD是菱形．
（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，連接EC交BD于點(diǎn)H，此時(shí)HG+HC最小，
在RT△EBM中，∵∠EMB=90°，∠EBM=30°，EB=ED=2$\sqrt{10}$，
∴EM=$\frac{1}{2}$BE=$\sqrt{10}$，
∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，
∴EM∥DN，EM=DN=$\sqrt{10}$，MN=DE=2$\sqrt{10}$，
在RT△DNC中，∵∠DNC=90°，∠DCN=45°，
∴∠NDC=∠NCD=45°，
∴DN=NC=$\sqrt{10}$，
∴MC=3$\sqrt{10}$，
在RT△EMC中，∵∠EMC=90°，EM=$\sqrt{10}$．MC=3$\sqrt{10}$，
∴EC=$\sqrt{E{M}^{2}+M{C}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{10}）^{2}+（3\sqrt{10}）^{2}}$=10．
∵HG+HC=EH+HC=EC，
∴HG+HC的最小值為10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用對(duì)稱找到點(diǎn)H的位置，屬于中考�？碱}型．