Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙M與x軸相切于A點(diǎn)，與y軸相交于B、C兩點(diǎn)，且A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，0）、（0，1）．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)和⊙M的半徑；
（2）設(shè)點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上，連接PB并延長(zhǎng)，交⊙M于點(diǎn)D，若△ABD與△ABO相似，求PB•PD的值．

Answer 1

解：（1）A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，0）、（0，1），
∴OA=2，OB=1，
又⊙M與x軸相切于A點(diǎn)，與y軸相交于B、C兩點(diǎn)，
∴OA²=OB•OC，∴OC=4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4）．
連接MA，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥BC于N，則四邊形OAMN是矩形，
∴MA=ON=OB+BC=，
∴⊙M的半徑為．


（2）若△ABD與△ABO相似，又OA是⊙O的切線，則當(dāng)點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上，
連接PB并延長(zhǎng)，交⊙M于點(diǎn)D時(shí)，必有∠OAB=∠D，
因此，△ABD與△ABO相似有兩種情況．而△ABO是直角三角形，
故△ABD中，可能∠BAD=90°，可能∠ABD=90°．
①如果∠BAD=90°，則PD必過(guò)圓心，連接AD、AM，則AM⊥x軸，
∴OB∥AM，
∴PO：PA=OB：AM，
設(shè)OP=x，有x：（x+2）=2：5，
∴x=，∴PA=PO+OA=，
∴PB•PD=PA²=；
②如果∠ABD=90°；連接AD，則AD必過(guò)圓心且AD⊥x軸，
∴OB∥AD，∴OP：PA=OB：AD，
設(shè)OP=y，有y：（y+2）=1：5，∴y=，
∴PA=PO+OA=，
∴PB•PD=PA²=，
∴PB•PD的值是或者．
分析：（1）已知OA，OB的長(zhǎng)度，又OA是⊙O的切線，根據(jù)切割線定理求出OC的長(zhǎng)，從而確定點(diǎn)C的坐標(biāo)．過(guò)點(diǎn)M作MN⊥BC于N，則ON=OB+BC，求出⊙M的半徑．
（2）若△ABD與△ABO相似，又OA是⊙O的切線，則當(dāng)點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上，連接PB并延長(zhǎng)，交⊙M于點(diǎn)D時(shí)，必有∠OAB=∠D，因此，△ABD與△ABO相似有兩種情況．而△ABO是直角三角形，故△ABD中，可能∠BAD=90°，可能∠ABD=90°，無(wú)論哪種情況，都可以根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出PB•PD的值．
點(diǎn)評(píng)：（1）涉及圓中求半徑的問(wèn)題，常見輔助線是過(guò)圓心作弦的垂線．
（2）本題綜合考查了垂徑定理和相似三角形的性質(zhì)，本問(wèn)中判別△ABD與△ABO相似有兩種情況是解題的關(guān)鍵．