Question

20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系的第一象限中，有一點(diǎn)A（1，2），AB∥x軸且AB=6，點(diǎn)C在線段AB的垂直平分線上，且AC=5，將拋物線y=ax²（a＞0）的對稱軸右側(cè)的圖象記作G．
（1）若G經(jīng)過C點(diǎn)，求拋物線的解析式；
（2）若G與△ABC有交點(diǎn)．
①求a的取值范圍；
②當(dāng)0＜y≤8時，雙曲線y=$\frac{k}{x}$經(jīng)過G上一點(diǎn)，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作CH⊥AB于H．求出點(diǎn)C坐標(biāo)即可解決問題；
（2）①當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A時，a=2，當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)B時，2=49a，可得a=$\frac{2}{49}$，由此即可解決問題；
②由題意當(dāng)a=$\frac{2}{49}$時，y=$\frac{2}{49}$x²，當(dāng)y=8時，8=$\frac{2}{49}$x²，因?yàn)閤＞0，推出x=14，由題意當(dāng)反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$經(jīng)過點(diǎn)（14，8）時k的值最大；

解答 解：（1）如圖1中，作CH⊥AB于H．

∵CA=CB=5，CH⊥AB，
∴AH=HB=3，
在Rt△ACH中，CH=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴C（4，6），
∵拋物線y=ax²（a＞0）經(jīng)過C點(diǎn)，
∴6=16a，
∴a=$\frac{3}{8}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{3}{8}$x²．

（2）①∵A（1，2），B（7，2），
當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A時，a=2，
當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)B時，2=49a，
∴a=$\frac{2}{49}$，
∵若G與△ABC有交點(diǎn)，
∴$\frac{2}{49}$≤a≤2．

②由題意當(dāng)a=$\frac{2}{49}$時，y=$\frac{2}{49}$x²，
當(dāng)y=8時，8=$\frac{2}{49}$x²，
∴x＞0，
∴x=14，
∴當(dāng)反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$經(jīng)過點(diǎn)（14，8）時k的值最大，此時k=112，
∴k的最大值為112．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用特殊點(diǎn)解決問題，屬于中考壓軸題．