Question

17．如圖，四邊形ABCD是正方形，（1）在圖1中，直角三角尺AMN的直角頂固定在A處，在旋轉(zhuǎn)過程中一條直角邊和CB的延長線交于一點P，另一條直角邊CD交于Q點，請你通過測量PB和DQ的長度，猜想PB和DQ滿足的數(shù)量關(guān)系和怎樣的變換關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）在圖2中，直角三角尺AON的45°角固定在A處，在選裝過程中一條直角邊和CB交于點R，斜邊AN和CD交于Q點．請你通過測量BR和RQ及DQ的長度，猜想QR與BR，DQ滿足的數(shù)量關(guān)系，并利用上面的變換方法證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是正方形，得到AB=AD，∠BAD=∠ABC=∠D=90°，證得∠PAB=∠DAQ，推出△ABP≌△ADQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）延長CB到E，使BE=DQ，連接QR，通過Rt△ABE≌△RtADQ，得到AE=AQ，∠BAE=∠DAQ，得到∠EAR=45°，推出△EAR≌△QAR，由全等三角形的性質(zhì)得到ER=QR，等量代換即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）PB=DQ，DQ通過繞著點A旋轉(zhuǎn)90°到PB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABP=90°，∵∠MAN=90°，
∴∠PAB=∠DAQ，
在△ABP與△ADQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠DAQ}\\{AB=AD}\\{∠ABP=∠D}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ADQ，
∴PB=DQ，
∴DQ通過繞著點A旋轉(zhuǎn)90°到PB；

（2）QR=BR+DQ，
延長CB到E，使BE=DQ，連接QR，
在Rt△ABE與△RtADQ中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABE=∠D=90°}\\{BE=DQ}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌△RtADQ，
∴AE=AQ，∠BAE=∠DAQ，
∵∠OAN=45°，
∴∠DAQ+∠BAR=45°，
∴∠EAR=45°，
在△EAR與△QAR中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AQ}\\{∠EAR=∠QAR}\\{AR=AR}\end{array}\right.$，
∴△EAR≌△QAR，
∴ER=QR，
∵ER=BE+BR=DQ+BR，
∴QR=BR+DQ．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．