Question

如圖，在直角坐標系中，已知點A（-1，0）、B（0，2），將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉90°至AC．

（1）點C的坐標為（    ，    ）；

（2）若二次函數的圖象經過點C．

①求二次函數的關系式；

②當-1≤x≤4時，直接寫出函數值y對應的取值范圍；[來源:學_科_網Z_X_X_K]

③在此二次函數的圖象上是否存在點P（點C除外），使△ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1) ∴點C的坐標為(－3，1) ．

(2)①∵二次函數的圖象經過點C(－3，1)，

∴.解得 

     ∴二次函數的關系式為 

     ②當-1≤x≤4時，≤y≤8；

     ③過點C作CD⊥x軸，垂足為D，

i) 當A為直角頂點時，延長CA至點，使，則△是以AB為直角邊的等腰直

角三角形，過點作⊥軸，

∵＝，∠＝∠，∠＝∠＝90°，

∴△≌△，∴AE＝AD＝2， ＝CD＝1,

∴可求得的坐標為(1，－1)，經檢驗點在二次函數的圖象上；

ii） 當B點為直角頂點時，過點B作直線L⊥BA，在直線L上分別取，得到以AB為直角邊的等腰直角△和等腰直角△，作⊥y軸，同理可證△≌△∴ BF＝OA＝1，可得點的坐標為（2， 1），經檢驗點在二次函數的圖象上．同理可得點的坐標為（－2， 3），經檢驗點不在二次函數的圖象上

綜上：二次函數的圖象上存在點(1，－1)，（2，1）兩點，使得△和△是以AB為直角邊的等腰直角三角形．

【解析】(1)根據旋轉的性質得出C點坐標；

（2）①把C點代入求得二次函數的解析式；②利用二次函數的圖象得出y的取值范圍；③分二種情況進行討論.