Question

12．如圖，已知A（-4，$\frac{1}{2}$），B（n，2）是一次函數y=kx+b與反比例函數y=$\frac{m}{x}$（m＜0）圖象的兩個交點，AC⊥x軸于C，BD⊥y軸于D．
（1）求m、n的值及一次函數關系式；
（2）根據圖象直接回答：在第二象限內，當x滿足條件：-4＜x＜-1時，一次函數大于反比例函數的值．
（3）P是線段AB上的一點，連接PC，PD，若△PCA和△PDB面積相等，求點P坐標．

Answer 1

分析 （1）根據反比例函數y=$\frac{m}{x}$圖象過點（-4，$\frac{1}{2}$），求得m=-2，由于點B（n，2）也在該反比例函數的圖象上，得到n=-1，設一次函數的解析式為y=kx+b，解方程組即可得到一次函數的解析式；
（2）根據圖象即可得到結論；
（3）連接PC、PD，如圖，設P（x，$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$），根據△PCA和△PDB面積相等得到方程組，即可得到結論；

解答 解：（1）∵反比例函數y=$\frac{m}{x}$圖象過點（-4，$\frac{1}{2}$），∴m=-4×$\frac{1}{2}$=-2，
∵點B（n，2）也在該反比例函數的圖象上，∴2n=m=-2，∴n=-1，
設一次函數的解析式為y=kx+b，
由y=kx+b的圖象過點（-4，$\frac{1}{2}$），（-1，2），則
$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=\frac{1}{2}}\\{-k+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$     一次函數的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，

（2）根據圖象知-4＜x＜-1，一次函數大于反比例函數的值；
故答案為：-4＜x＜-1；

（3）連接PC、PD，如圖，設P（x，$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$），由△PCA和△PDB面積相等得：
$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$（x+4）=$\frac{1}{2}×$|-1|×（2-$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$），
解得：x=-$\frac{5}{2}$，y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$=$\frac{5}{4}$，
∴P點坐標是（-$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{4}$）．

點評 本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：反比例函數與一次函數圖象的交點坐標滿足兩函數解析式．也考查了待定系數法求函數解析式以及觀察函數圖象的能力．