Question

18．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AC=6，BD=8，點P是AC延長線上的一個動點，過點P作PE⊥AD，垂足為E，作CD延長線的垂線，垂足為E，則|PE-PF|=4.8．

Answer 1

分析 延長BC交PE于G，由菱形的性質得出AD∥BC，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=3，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=4，AC⊥BD，∠ACB=∠ACD，由勾股定理求出AD，由對頂角相等得出∠PCF=∠PCG，由菱形的面積的兩種計算方法求出EG，由角平分線的性質定理得出PG=PF，得出PE-PF=PE-PG=EG即可．

解答 解：延長BC交PE于G，如圖所示：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=3，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=4，AC⊥BD，∠ACB=∠ACD，
∴AD=$\sqrt{O{A}^{2}+O{D}^{2}}$=5，∠PCF=∠PCG，
∵菱形的面積=AD•EG=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×6×8=24，
∴EG=4.8，
∵PE⊥AD，
∴PE⊥BG，
∵PF⊥DF，
∴PG=PF，
∴PE-PF=PE-PG=EG=4.8．
故答案為：4.8．

點評 本題考查了菱形的性質、勾股定理、角平分線的性質定理、菱形面積的計算等知識；本題綜合性強，有一定難度，通過作輔助線證出PG=PF是解決問題的關鍵．