Question

如圖，平行四邊形ABCD中，AD=8，CD=4，∠D=60°，點P與點Q是平行四邊形ABCD邊上的動點，點P以每秒1個單位長度的速度，從點C運動到點D，點Q以每秒2個單位長度的速度從點A→點B→點C運動，當其中一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動，點P與點Q同時出發(fā)，設運動時間為t，△CPQ的面積為S。

（1）求S關于t的函數(shù)關系式；
（2）求出S的最大值；
（3）t為何值時，將△CPQ以它的一邊為軸翻折，翻折前后的兩個三角形所組成的四邊形為菱形？

Answer 1

解：（1）①當0<t≤2時，如圖（1），過點B作BE⊥DC，交DC的延長線于點E， ∵∠BCE=∠D=60°，∴BE=4， ∵CP=t， ∴； ②當2<t≤4時，如圖（2），CP=t，BQ=2t-4，CQ=8-（2t-4）=12-2t， 過點P作PF⊥BC，交BC的延長線于點F ∵∠PCF=∠D=60° ， ∴， S=；
（2）當0<t≤2時，t=2時，S有最大值4； 當時，， t=3時，S有最大值， 綜上所述，S的最大值為；
（3）當0<t≤2時，△CPQ不是等腰三角形，∴不存在符合條件的菱形 當2<t≤4時，令CQ=CP，即t=12-2t，解得t=4， ∴當t=4時，△CPQ是等腰三角形， 即當t=4時，以△CPQ一邊所在直線為軸翻折，翻折前后的兩個三角形所組成的四邊形為菱形。