Question

11．如圖所示是一個紙杯，它的母線延長后形成的立體圖形是圓錐，該圓錐的側(cè)面展開圖是扇形OAB，經(jīng)測量，紙杯開口圓的直徑為6cm，下底面直徑為4cm，母線長EF=9cm，求扇形OAB的圓心角及這個紙杯的表面積．（結(jié)果保留根號和π）

Answer 1

分析 （1）設(shè)∠AOB=n°，AO=R，則CO=R-9，利用圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長等于圓錐底面周長作為相等關(guān)系列方程，并聯(lián)立成方程組求解即可；
（2）求紙杯的側(cè)面積即為扇環(huán)的面積，需要用大扇形的面積減去小扇形的面積．紙杯表面積=S_{紙杯側(cè)面積}+S_{紙杯底面積}．

解答 解：由題意可知：$\widehat{BA}$=6πcm，$\widehat{CD}$=4π，設(shè)∠AOB=n，AO=R，則CO=R-9，
由弧長公式得：l=$\frac{nπR}{180}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6×180=nR}\\{4×180=nR-9n}\end{array}\right.$，
解得：n=40，R=27，
故扇形OAB的圓心角是40度．
∵R=27，R-9=18，
∴S_扇形OCD=$\frac{1}{2}$×4π×18=36π（cm²），
S_扇形OAB=$\frac{1}{2}$×6π×27=81π（cm²），
紙杯側(cè)面積=S_扇形OAB-S_扇形OCD=81π-36π=45π（cm²），
紙杯底面積=π•2²=4π（cm²）
紙杯表面積=45π+4π=49π（cm²）．

點(diǎn)評 此題主要考查圓錐的側(cè)面展開圖與底面周長之間的關(guān)系和扇環(huán)的面積的求法．本題中（1）就是把的扇形的弧長等于圓錐底面周長作為相等關(guān)系，列方程求解；（2）扇環(huán)的面積等于大扇形的面積減去小扇形的面積．