Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，D為AC的中點，以BD為折痕，將△BCD折疊，使得C點到達C₁點的位置，連接AC₁．

求證：四邊形ABDC₁是菱形．

Answer 1

證法一：(有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形)

∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，D為AC的中點，

∴BD＝CD＝AD                               

∵∠BAC＝60°

∴△BDA為等邊三角形

∴BD＝BA                                  

根據(jù)折疊可知CD＝DC`∠C＝∠BC`D＝30°

∵BD＝CD

∴∠C＝∠CBD＝30°

∵∠CBD＝∠C`BD

∴∠C`BD ＝30°

∴∠BC`D＝∠C`BA＝30°

∴DC`∥BA                               

又DC`＝CD   CD＝BD＝BA

∴DC`＝BA

∴四邊形DBAC`為平行四邊形                 

又BD＝BA

∴平行四邊形DBAC`為菱形                   

證法二：(四條邊相等的四邊形是菱形)

∵Rt△ABC中，D為AC的中點

∴BD＝CD＝AD＝AC  又∠BAC＝60°       

∴△BDA為等邊三角形

∴BD＝BA＝AD                             

根據(jù)折疊可知△CBD≌△C`BD

∴CD＝C`D

∵∠BAC＝60°

∴∠C＝30°

∵CD＝BD

∴∠C＝∠CBD＝30°   又∠DBC`＝∠CBD＝30°

∴∠ABC`＝30°

∴∠ABC`＝∠DBC`

∵DA＝BA，BC`為公共邊   

∴△BDC`≌△BAC`

∴C`D＝AC`又CD＝BD                     

∴C`D＝BD＝BA＝AC`                       

∴四邊形DBAC`為菱形