Question

如圖，在△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，且2b＜a+c，求證：2∠B＜∠A+∠C．

Answer 1

證明：延長BA到D，使AD=BC=a，延長BC到E，使CE=AB=c，連接DE，
這就把圖形補(bǔ)成一個等腰三角形，即有BD=BE=a+c，
∴∠BDE=∠BED，
作DF∥AC，CF∥AD，相交于F，連接EF，則ADFC是平行四邊形．
∴CF=AD=BC，
又∠FCE=∠CBA，∴△FCE≌△CBA
∴EF=AC，
于是DE≤DF+EF=2b＜a+c=BD=BE．
這樣，在△BDE中，便有∠B＜∠BDE=∠BED
∴∠2B＜∠BDE+∠BED=180°一∠B=∠A+∠C，
即2∠B＜∠A+∠C．
分析：可延長BA到D，使AD=BC=a，延長BC到E，使CE=AB=c，連接DE，這就把圖形補(bǔ)成一個等腰三角形，即有BD=BE=a+c，可得∠BDE=∠BED，作DF∥AC，CF∥AD，相交于F，連接EF，則ADFC是平行四邊形．再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)通過轉(zhuǎn)化，最終得出結(jié)論．
點(diǎn)評：本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，能夠熟練掌握．