Question

17．如圖，AB∥CD，P₁、P₂、P₃是AB與CD之間的點(diǎn)，且它們與A、B可組成一個(gè)凸多邊形的頂點(diǎn)．
（1）在圖（1）中，求∠A+∠P₁+∠C的度數(shù)；
（2）在圖（2）中，求∠A+∠P₁+∠P₂+∠C的度數(shù)；
（3）直接寫(xiě)出圖（3）中，∠A+∠P₁+∠P₂+∠P₃+∠C的度數(shù)；如果在AB與CD之間有如圖所示的P₁、P₂、P₃，…，P_n這樣的n個(gè)點(diǎn)，試求∠A+∠P₁+∠P₂+∠P₃+…+∠P_n+∠C的度數(shù)（結(jié)果用含n的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）連接AC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可知∠CAP₁+∠P₁+∠P₁CA=180°，再由AB∥CD可得出∠BAC+∠ACD=180°，把兩式相加即可；
（2）連接AC，同（1）可得∠CAP₁+∠P₁+∠P₂+∠P₂CA=360°，再由∠BAC+∠ACD=180°可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)（1）、（2）的結(jié)論可得出規(guī)律．

解答 解：（1）如圖1，連接AC，則∠CAP₁+∠P₁+∠P₁CA=180°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠BAP₁+∠P₁+∠P₁CD=180°+180°=360°；

（2）如圖2，連接AC，則∠CAP₁+∠P₁+∠P₂+∠P₂CA=360°．
∵∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠BAP₁+∠P₁+∠P₂+∠P₂CD=360°+180°=540°．

（3）如圖3，連接AC，∠A+∠P₁+∠P₂+∠P₃+∠C=720°．
當(dāng)AB與CD之間有P₁、P₂、P₃…P_n個(gè)這樣的n個(gè)點(diǎn)時(shí)，連接AC，則多邊形AP₁P₂P₃…P_nC是（n+2）邊形，
∴∠A+∠P₁+∠P₂+∠P₃+…+∠P+∠C
=[（n+2）-2]×180°+180°=（n+1）×180°．
[另解]由以上可知，當(dāng)AB與CD之間有1個(gè)點(diǎn)時(shí)，所求角的和為（1+1）×180°；
當(dāng)AB與CD之間有2個(gè)點(diǎn)時(shí)，所求角的和為（2+1）×180°；
當(dāng)AB與CD之間有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，所求角的和為（3+1）×180°
當(dāng)故AB與CD之間有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，所求角的和為（n+1）×180°．
[解法二]（1）如圖（4），過(guò)點(diǎn)P₁作P₁Q₁∥AB，則AB∥P₁Q₁∥CD，
∴所求角的度數(shù)和=180°×2=360°；

（2）如圖（5），分別過(guò)點(diǎn)P1P2作P₁Q₁∥AB，P₂Q₂∥AB，則AB∥P₁Q₁∥P₂Q₂∥CD，
∴所求角的度數(shù)和=180°×3=540°；

（3）同法可得，所求角的度數(shù)和=180°×4=720°，
由此類(lèi)推，當(dāng)AB與CD之間有P₁、P₂、P₃…P_n這樣的n個(gè)點(diǎn)時(shí)，分別過(guò)這n個(gè)點(diǎn)作AB的平行線，可得到（n+1）對(duì)互補(bǔ)的同旁?xún)?nèi)角．
∴這時(shí)所求角的度數(shù)和=（n+1）×180°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行線是解答此題的關(guān)鍵．