Question

在四邊形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，AB=a，DC=b，BC=a+b，且a≤b，取AD的中點(diǎn)P，連接PB、PC。
（1）試判斷三角形PBC的形狀；
（2）在線段BC上，是否存在點(diǎn)M，使AM⊥MD，若存在，請(qǐng)求出BM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

解：（1）在四邊形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AB∥DC．又AB=a，DC=b，且a≤b，
∴四邊形ABCD為直角梯形（或矩形），
過點(diǎn)P作PQ⊥BC，垂足為Q，
∴PQ∥AB，
又點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)Q是BC的中點(diǎn)，
又PQ=（AB+CD）=（a+b）=BC，
∴PQ=BQ=QC，
∴△PQB與△PQC是全等的等腰直角三角形，
∴∠BPC=∠BPQ+∠QPC=90°，PB=PC，
即△PBC是等腰直角三角形；
（2）存在點(diǎn)M，使AM⊥MD，
以AD為直徑，P為圓心作圓P，
當(dāng)a=b時(shí)，四邊形ABCD為矩形，PA=PD=PQ，
圓P與BC相切于點(diǎn)Q，此時(shí)，M點(diǎn)與Q點(diǎn)重合，
即存在點(diǎn)M，使得AM⊥MD，
此時(shí)BM=（a+b）；
當(dāng)a＜b時(shí)，四邊形ABCD為直角梯形，
AD＞BC，PA=PD＞PQ，圓心P到BC的距離PQ小于圓P的半徑，圓P與BC相交，BC上存在兩點(diǎn)M₁，M₂，使AM⊥MD，
過點(diǎn)A作AE⊥DC，在Rt△AED中，AE=a+b，DE=b-a，

連接PM₁，PM₂，則，
在直角三角形PQM₁中，，
∴BM₁=BQ-M₁Q=a，
同理可得：BM₂=BQ+M₂Q=b，
綜上所述，在線段BC上存在點(diǎn)M，使AM⊥MD，
當(dāng)a=b時(shí)，有一點(diǎn)M，BM=；
當(dāng)a＜b時(shí)，有兩點(diǎn)M₁，M₂，BM₁=a，BM₂=b。