Question

如圖，在梯形ABCD中，BC∥AD，∠A+∠D=90°，tanA=2，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AD于H，BC=BH=2，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿DH運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H停止，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，過(guò)點(diǎn)F作EF⊥AD交折線D    C    B于點(diǎn)E，將紙片沿直線EF折疊，點(diǎn)C、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)C₁、D₁，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間是x秒（x＞0）．
（1）當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間x的值；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，△BCD₁是等腰三角形；
（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)△FED₁或四邊形EFD₁C₁與梯形ABCD重疊部分的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）過(guò)C作GC∥AB交AD于G，通過(guò)勾股定理就可以求出AH=1，AB=

5

，再得出四邊形ABCG是平行四邊求出DH，過(guò)C作CM⊥AD交AD于M，求出DM的值即可；
（2）分三種情況討論，如圖1，當(dāng)BC=CD₁=2時(shí)可以求出x的值，如圖2，當(dāng)BD₁=CD₁時(shí)，作D₁G⊥BC于G，可以求出x的值，如圖3，當(dāng)BC=BD₁時(shí)，可以求出x的值，從而綜合得出結(jié)論；
（3）分四種情況討論，如圖4，當(dāng)0＜x≤3.5時(shí)，如圖5，3.5＜x≤4時(shí)，作GM⊥AD于M，如圖6，當(dāng)4＜x≤5時(shí)，作GM⊥AD于M，如圖7，當(dāng)5＜x≤6時(shí)，可以分別求出S與x之間的環(huán)數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）過(guò)C作GC∥AB交AD于G，
∴∠CGD=∠A，
∵∠A+∠D=90°，
∴∠CGD+∠D=90°，
∴∠DCG=90°．
在Rt△AHB中，tanA=2，BH=2，
∴AH=1，AB=

5

，
∵BC∥AD，CG∥AB，
∴四邊形ABCG是平行四邊形，
∴AG=BC=2，CG=AB=

5

，
∴CD=2

5

，GD=5，
∴DH=6．
過(guò)C作CM⊥AD交AD于M，
∴DM=4，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時(shí)x=4．

（2）如圖1，當(dāng)BC=CD₁=2時(shí)，DD₁=4，
∴DF=2，
∴x=2；
如圖2，當(dāng)BD₁=CD₁時(shí)，作D₁G⊥BC于G，
∴CG=

1

2

BC=1，
∴D₁D=5，
∴DF=2.5，
∴x=2.5；
如圖3，當(dāng)BC=BD₁時(shí)，DD₁=6，
∴DF=3，
∴x=3；
∴x=2，2.5，3時(shí)，△BCD₁是等腰三角形；

（3）如圖4，當(dāng)0＜x≤3.5時(shí)，
S=

1

2

D₁F•EF=

1

2

x•

1

2

x=

1

4

x²；
如圖5，3.5＜x≤4時(shí)，作GM⊥AD于M，
S=

1

2

D₁F•EF-

1

2

D₁A•GM．
D₁A=2x-7
設(shè)GM=a，則AM=

1

2

a，
∵

GM

D1M

=

1

2

，
∴

a

2x-7+ 1 2 a

=

1

2

，
∴a=

4x-14

3

，
即GM=

4x-14

3

．
∴S=

1

4

x²-

1

2

（2x-7）×

4x-14

3

；
=-

13

12

x²+

28

3

x-

49

3

；
如圖6，當(dāng)4＜x≤5時(shí)，作GM⊥AD于M，
S=

1

2

（C₁E+D₁F）×2-

1

2

D₁A•GM
=

1

2

（x-4+x）×2-

1

2

（2x-7）×

4x-14

3

=-

4

3

x²+

34

3

x-

61

3

；
如圖7，當(dāng)5＜x≤6時(shí)，
S=

1

2

（BE+AF）•EF
=

1

2

（6-x+7-x）×2
=13-2x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，梯形的面積公式的運(yùn)用，分段函數(shù)的解法的運(yùn)用，三角函數(shù)值的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，解答時(shí)尋找分段函數(shù)的分段點(diǎn)是難點(diǎn)，解答時(shí)考慮不同情況的S的值如何的表示是關(guān)鍵．