Question

18．如圖，在△ABC中，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上，E、F兩點分別在AB、AC上，AD交EF于點H，設ED=x．
（1）用含有x的代數(shù)式表示DH的長；
（2）當x為何值時，矩形EFPQ的面積最大？并求其最大值．

Answer 1

分析 （1）可以證明△AEF∽△ABC，根據(jù)相似三角形的對應高的比等于相似比即可用含有x的代數(shù)式表示DH的長；
（2）根據(jù)矩形的面積公式，可以把面積表示成關于EF的長的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質即可求解；

解答 解：（1）∵在矩形EFPQ中，EF∥PQ．
∴△AEF∽△ABC．
又∵AD⊥BC，
∴AH⊥EF．
∴$\frac{AH}{AD}=\frac{EF}{BC}$，
∴$\frac{8-DH}{8}=\frac{x}{10}$，
∴DH=8-$\frac{4}{5}$x；
（2）設矩形EFPQ的面積為y，
∴y=EF×DH=x（8-$\frac{4}{5}$x）=-$\frac{4}{5}$x²+8x=-$\frac{4}{5}$（x-5）²+20．
∵a=-$\frac{4}{5}$＜0，
∴當x=5時，y的最大值為20．

點評 本題主要考查了相似三角形的性質與二次函數(shù)的應用，熟悉相似三角形的判定和性質是解決問題的關鍵．