Question

（2012•密云縣一模）已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點M、N．
（1）如圖1，當∠MAN繞點A旋轉到BM=DN時，有BM+DN=MN．當∠MAN繞點A旋轉到BM≠DN時，如圖2，請問圖1中的結論還是否成立？如果成立，請給予證明，如果不成立，請說明理由；
（2）當∠MAN繞點A旋轉到如圖3的位置時，線段BM，DN和MN之間有怎樣的等量關系？請寫出你的猜想，并證明．

Answer 1

分析：（1）在MB的延長線上截取BE=DN，連接AE，根據正方形性質得出AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABC=∠ABE=90°，證△ABE≌△ADN推出AE=AN；∠EAB=∠NAD，求出∠EAM=∠MAN，根據SAS證△AEM≌△ANM，推出ME=MN即可；
（2）在DN上截取DE=MB，連接AE，證△ABM≌△ADE，推出AM=AE；∠MAB=∠EAD，求出∠EAN=∠MAN，根據SAS證△AMN≌△AEN，推出MN=EN即可．

解答：解：（1）圖1中的結論仍然成立，即BM+DN=MN，理由為：
如圖2，在MB的延長線上截取BE=DN，連接AE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABC=∠ABE=90°，
∵在△ABE和△ADN中

AD=AB ∠D=∠ABE DN=BE

，
∴△ABE≌△ADN（SAS）．
∴AE=AN；∠EAB=∠NAD，
∵∠DAB=90°，∠MAN=45°，
∴∠DAN+∠BAM=45°，
∴∠EAM=∠BAM+∠EAB=45°=∠MAN，
∵在△AEM和△ANM中

AE=AN ∠EAM=∠NAM AM=AM

，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME=MN，
∴MN=ME=BE+BM=DN+BM，
即DN+BM=MN；

（2）猜想：線段BM，DN和MN之間的等量關系為：DN-BM=MN．
證明：如圖3，在DN上截取DE=MB，連接AE，
∵由（1）知：AD=AB，∠D=∠ABM=90°，BM=DE，
∴△ABM≌△ADE（SAS）． 
∴AM=AE；∠MAB=∠EAD，
∵∠MAN=45°=∠MAB+∠BAN，
∴∠DAE+∠BAN=45°，
∴∠EAN=90°-45°=45°=∠MAN，
∵在△AMN和△AEN中

AM=AE ∠MAN=∠EAN AN=AN

，
∴△AMN≌△AEN（SAS），
∴MN=EN，
∵DN-DE=EN，
∴DN-BM=MN．

點評：本題考查了正方形性質和全等三角形的性質和判定的應用，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目，證明過程類似，培養(yǎng)了學生的猜想能力和分析歸納能力．