Question

如圖，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，與CD相交于點(diǎn)F，DH⊥BC于H，交BE于G，下列結(jié)論：①BD=CD；②AD+CF=BD；③CE=BF；④AE=BG．其中正確的是

1. A.
   ①②
2. B.
   ①③
3. C.
   ①②③
4. D.
   ①②③④

Answer 1

C
分析：根據(jù)∠ABC=45°，CD⊥AB可得出BD=CD，利用AAS判定Rt△DFB≌Rt△DAC，從而得出DF=AD，BF=AC．則CD=CF+AD，即AD+CF=BD；再利用AAS判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE=AE=AC，又因?yàn)锽F=AC所以CE=AC=BF，
連接CG．因?yàn)椤鰾CD是等腰直角三角形，即BD=CD．又因?yàn)镈H⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG=CG．
在Rt△CEG中，CG是斜邊，CE是直角邊，所以CE＜CG．即AE＜BG．
解答：∵CD⊥AB，∠ABC=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
∴BD=CD．故①正確；
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∵∠DBF=90°-∠BFD，∠DCA=90°-∠EFC，且∠BFD=∠EFC，
∴∠DBF=∠DCA．
又∵∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD，
∴△DFB≌△DAC．
∴BF=AC；DF=AD．
∵CD=CF+DF，
∴AD+CF=BD；故②正確；
在Rt△BEA和Rt△BEC中
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．
又∵BE=BE，∠BEA=∠BEC=90°，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC．
∴CE=AE=AC．
又由（1），知BF=AC，
∴CE=AC=BF；故③正確；
連接CG．

∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=CD
又DH⊥BC，
∴DH垂直平分BC．∴BG=CG
在Rt△CEG中，
∵CG是斜邊，CE是直角邊，
∴CE＜CG．
∵CE=AE，
∴AE＜BG．故④錯誤．
故選C．
點(diǎn)評：本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．在復(fù)雜的圖形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并應(yīng)用此點(diǎn)．