Question

4．如圖，菱形ABCD的對角線BD、AC的長分別為2，2$\sqrt{3}$，以點B為圓心的弧與AD、DC相切，則圖中陰影部分的面積是2$\sqrt{3}$-π．

Answer 1

分析 連接AC、BD、BE，在Rt△AOB中可得∠BAO=30°，∠ABO=60°，在Rt△ABE中求出BE，得出扇形半徑，由菱形面積減去扇形面積即可得出陰影部分的面積．

解答 解：連接AC、BD、BE，

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC與BD互相垂直且平分，
∴AO=$\sqrt{3}$，BO=1，
∵tan∠BAO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，tan∠ABO=$\sqrt{3}$，
∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，
∴AB=2，∠BAE=60°，
∵以B為圓心的弧與AD相切，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，AB=2，∠BAE=60°，
∴BE=ABsin60°=$\sqrt{3}$，
∴S_菱形-S_扇形=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$-$\frac{120π×（\sqrt{3}）^{2}}{360}$=2$\sqrt{3}$-π．
故答案為：2$\sqrt{3}$-π．

點評 本題考查了扇形的面積計算、菱形的性質(zhì)及切線的性質(zhì)，解答本題的關鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)求出各角度及扇形的半徑．