Question

19．如圖，將矩形ABCD沿CM折疊，使點D落在AB邊上的點E處．
（1）求證：△AEM∽△BCE；
（2）若AB=10，BC=8，求四邊形ABCM的面積．

Answer 1

分析 （1）如圖，首先證明∠A=∠B=90°，證明∠MEC=90°；其次證明∠AME=∠BEC，即可解決問題．
（2）如圖，首先求出BE=6，得到AE=4；證明ME=MD（設(shè)為λ），運用勾股定理列出關(guān)于λ的方程，求出λ；求出△CDM的面積，即可解決問題．

解答 解：（1）如圖，∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠A=∠B=∠D=90°；
由題意得：∠CEM=∠D=90°，
∴∠AME+∠AEM=∠AEM+∠BEC，
∴∠AME=∠BEC，
∴△AEM∽△BCE．
（2）∵四邊形ABCD為矩形，
∴CD=AB=10；由題意得：
CE=CD=10；由勾股定理得：
BE²=CE²-BC²，而BC=8，
∴BE=6，AE=10-6=4；
由題意得：ME=MD（設(shè)為λ），則AM=8
由勾股定理：λ²=4²+（8-λ）²，
解得：λ=5，
∴S_ABCM=S_ABCD-S_△CDM
=10×8-$\frac{1}{2}$×10×5
=80-25=55．
即四邊形ABCM的面積=55．

點評 該題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識點及其應(yīng)用問題；解題的方法是深入觀察圖形，準(zhǔn)確找出圖形中隱含的相等或相似關(guān)系；解題的關(guān)鍵是靈活運用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)等幾何知識點來分析、判斷、解答．