Question

如圖，正方形ABCD，P為BC邊上一點，以AP為斜邊在正方形ABCD內(nèi)作等腰Rt△APQ，連接AC交PQ于點E，連接DQ．
（1）求證：△ACP∽△ADQ；
（2）當(dāng)P為BC的中點時，求的值；
（3）在（2）的條件下，求證：EQ=DQ．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠DAC=45°，即∠DAQ+∠QAE=45°，=，
∵△APQ為等腰直角三角形，
∴∠QAP=45°，即∠PAC+∠QAE=45°，=，
∴∠PAC=∠QAD，=，
∴△ACP∽△ADQ；

（2）解：設(shè)正方形ABCD的邊長為2a，則PB=PC=a，
∴AP===a，AC=2a，
∵∠APE=∠ACP=45°，∠PAE=∠CAP，
∴△APE∽△ACP，
∴===；

（3）證明：∵PC=a，=，
∴PE=a，
∵PQ=AP=a，
∴EQ=PQ-PE=a，
又∵△ACP∽△ADQ，
∴=，即=，
∴DQ=a，
∴==，
∴EQ=DQ．
分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠DAQ+∠QAE=45°，=；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得∠PAC+∠QAE=45°，=，所以∠PAC=∠QAD，=，于是可判斷△ACP∽△ADQ；
（2）設(shè)正方形ABCD的邊長為2a，則PB=PC=a，AP=a，AC=2a，由∠APE=∠ACP=45°，∠PAE=∠CAP得到△APE∽△ACP，利用相似比可計算出=；
（3）由（2）的結(jié)論得PE=a，而PQ=AP=a，則EQ=PQ-PE=a，再利用（1）的結(jié)論得到=，可計算得到DQ=a，然后求EQ與DQ的比值．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角相等的兩個三角形相似；有兩組對應(yīng)角相等的兩個三角形相似；相似三角形對應(yīng)邊的比等于相等，都等于相似比．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)．