Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AB⊥x軸于點(diǎn)B，AB=3，tan∠AOB=，將△OAB繞著原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OA₁B₁；再將△OA₁B₁繞著線(xiàn)段OB₁的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，得到△OA₂B₁，拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、B₁、A₂．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式．
（2）在第三象限內(nèi)，拋物線(xiàn)上的點(diǎn)P在什么位置時(shí)，△PBB₁的面積最大？求出這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）在第三象限內(nèi)，拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到線(xiàn)段BB₁的距離為？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵AB⊥x軸，AB=3，tan∠AOB=，∴OB=4，
∴B（-4，0），B₁（0，-4），A₂（3，0）．
∵拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、B₁、A₂，
∴，
解得
∴拋物線(xiàn)的解析式為：y=x²+x-4．

（2）點(diǎn)P是第三象限內(nèi)拋物線(xiàn)y=x²+x-4上的一點(diǎn)，
如答圖1，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），則m＜0，n＜0，n=m²+m-4．
于是PC=|n|=-n=-m²-m+4，OC=|m|=-m，BC=OB-OC=|-4|-|m|=4+m．
S_△PBB1=S_△PBC+S_梯形PB1OC-S_△OBB1
=×BC×PC+×（PC+OB₁）×OC-×OB×OB₁
=×（4+m）×（-m²-m+4）+×[（-m²-m+4）+4]×（-m）-×4×4
=m²-m=（m+2）²+
當(dāng)m=-2時(shí)，△PBB₁的面積最大，這時(shí)，n=，即點(diǎn)P（-2，）．

（3）假設(shè)在第三象限的拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)Q（x₀，y₀），使點(diǎn)Q到線(xiàn)段BB₁的距離為．
如答圖2，過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥BB₁于點(diǎn)D．
由（2）可知，此時(shí)△QBB₁的面積可以表示為：（x₀+2）²+，
在Rt△OBB₁中，BB₁==
∵S_△QBB1=×BB₁×QD=××=2，
∴（x₀+2）²+=2，
解得x₀=-1或x₀=-3
當(dāng)x₀=-1時(shí)，y₀=-4；當(dāng)x₀=-3時(shí)，y₀=-2，
因此，在第三象限內(nèi)，拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到線(xiàn)段BB₁的距離為，這樣的點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（-1，-4）或（-3，-2）．
分析：（1）首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定點(diǎn)B、B₁、A₂三點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得拋物線(xiàn)的解析式；
（2）求出△PBB₁的面積表達(dá)式，這是一個(gè)關(guān)于P點(diǎn)橫坐標(biāo)的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求極值的方法求出△PBB1面積的最大值；值得注意的是求△PBB₁面積的方法，如圖1所示；
（3）本問(wèn)引用了（2）問(wèn)中三角形面積表達(dá)式的結(jié)論，利用此表達(dá)式表示出△QBB₁的面積，然后解一元二次方程求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了待定系數(shù)法求拋物線(xiàn)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一元二次方程、旋轉(zhuǎn)與坐標(biāo)變化、圖形面積求法、勾股定理等重要知識(shí)點(diǎn)．第（2）問(wèn)起承上啟下的作用，是本題的難點(diǎn)與核心，其中的要點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)圖形面積的求解方法，這種方法是壓軸題中常見(jiàn)的一種解題方法，同學(xué)們需要認(rèn)真掌握．