Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線EF經(jīng)過點(diǎn)C，AD⊥EF于點(diǎn)D，∠DAC=∠BAC．

（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）求證：AC²=AD•AB；
（3）若⊙O的半徑為2，∠ACD=30°，求圖中陰影部分的面積．（10分）

Answer 1

（1）（2）略 （3）

解析試題分析：解：（1）證明：連接OC，
∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA。
∵∠DAC=∠BAC，∴∠OCA=∠DAC�！郞C∥AD。
∵AD⊥EF，∴OC⊥EF。
∵OC為半徑，∴EF是⊙O的切線。
（2）證明：∵AB為⊙O直徑，AD⊥EF，
∴∠BCA=∠ADC=90°。
∵∠DAC=∠BAC，∴△ACB∽△ADC。
∴。∴AC²=AD•AB。
（3）∵∠ACD=30°，∠OCD=90°，∴∠OCA=60°.
∵OC=OA，∴△OAC是等邊三角形�！郃C=OA=OC=2，∠AOC=60°。
∵在Rt△ACD中，AD=AC=1。
由勾股定理得：DC=，
∴陰影部分的面積是S=S_梯形OCDA﹣S_扇形OCA=×（2+1）×﹣.
考點(diǎn)：圓的切線及勾股定理
點(diǎn)評(píng)：此種試題，主要考查學(xué)生對(duì)圓切線定理和勾股定理的靈活應(yīng)用，同時(shí)還要結(jié)合三角形的各種性質(zhì)和判定。