Question

16．取一副三角板按圖1拼接，固定三角板ADC，將三角板ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個大小為α的角（0°＜α≤45°）得三角形ABC′如圖所示．試問：
（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，則α=45°；
（2）當(dāng)α=15°時，能使圖3中的AB∥CD；
（3）連接BD，當(dāng)0°＜α≤45°時，探尋∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小變化情況，并給出你的說明．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)到圖③所示位置時，α=45°；
（2）若AB∥DC，則∠BAC=∠C=30°，得到α=∠BAC′-∠BAC=45°-30°=15°；
（3）連接CC′，BD，BO，在△BDO和△OCC′中，利用三角形內(nèi)角和定理得到∠BDO+∠DBO=∠OCC′+∠OC′C，即可求得∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=105°，即得到∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小不變．

解答 解：（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)到圖2所示位置時，
∵AB邊旋轉(zhuǎn)了45°，
∴α=45°，
故答案為：45°；

（2）如圖3，
∵AB∥DC，
∴∠BAC=∠C=30°，
∴α=∠BAC′-∠BAC=45°-30°=15°，
所以當(dāng)α=15°時，AB∥DC，
故答案為：15°；

（3）當(dāng)0°＜α≤45°時，∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小不變．
連接CC′，BD，BO，在△BDO和△OCC′中，∠BOD=∠COC′，
∴∠BDO+∠DBO=∠OCC′+∠OC′C，
∴∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=∠BDO+∠α+∠DBO=∠OCC′+∠OC′C+∠α，
=180°-∠ACD-∠AC′B，
=180°-45°-30°
=105°，
∴當(dāng)0°＜α≤45°時，∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小不變．

點評 本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．