Question

已知Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=BC=4,點(diǎn)O是AB中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C出發(fā)，沿AC、CB以每秒1個單位的速度運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)C、B后停止。連結(jié)PQ、點(diǎn)D是PQ中點(diǎn)，連結(jié)CD并延長交AB于點(diǎn)E.

（1）試說明：△POQ是等腰直角三角形；

（2）設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動的時間為t秒，試用含t的代數(shù)式來表示△CPQ的面積S，并求出

S的最大值；

（3）如圖2，點(diǎn)P在運(yùn)動過程中，連結(jié)EP、EQ，問四邊形PEQC是什么四邊形，并說明理由；

（4）求點(diǎn)D運(yùn)動的路徑長（直接寫出結(jié)果）.

 

Answer 1

【答案】

角度轉(zhuǎn)換；2；矩形；

【解析】

試題分析：(1)、證明：連接CO，則：CO⊥AB ∠BCO=∠A="45°" CO=AO=1/2AB

在△AOP和△COQ中

AP="CQ" ，∠A=∠BCO，AO="CO"           

∴△AOP≌△COQ   (SAS)

∴OP="OQ"    ∴∠AOP=∠COQ　

∴∠POQ=∠COQ+∠COP =∠AOP+∠COP=∠AOC =90°　     

∴△ POQ是等腰直角三角形（3分）

(2)、S=CQ×CP =t(4-t) =t²+2t = (t-2)²+2

當(dāng)t=2時，S取得最大值，最大值S="2" （3分）

(3)、四邊形PEQC是矩形

證明：連接OD

∵點(diǎn)D是PQ中點(diǎn)

∴CD=PD=DQ=PQ

OD=PD=DQ=PQ

∴CD="OD"

∴∠DCO=∠DOC

∵∠CEO+∠DCO=90°

∠DOE+∠DOC=90°

∴∠CEO=∠DOE

∴DE=DO

∴DE=CD

∵PD=DQ

∴四邊形PEQC是平行四邊形

又∠ACB=90° ∴四邊形PEQC是矩形（3分）

(4)、由DO=DC可知：點(diǎn)D在線段OC的垂直平分線上，其運(yùn)動路徑為CO垂直平分線與AC、BC交點(diǎn)間線段

點(diǎn)D運(yùn)動的路徑長=AB=（3分）

考點(diǎn)：全等三角形的性質(zhì)和判定

點(diǎn)評：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握判定兩個三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．