Question

13．如圖，點A（0，1），點B（-$\sqrt{3}$，0），作OA₁⊥AB，垂足為A₁，以OA₁為邊作Rt△A₁OB₁，使∠A₁OB₁=90°，∠B₁=30°，作OA₂⊥A₁B₁，垂足為A₂，再以OA₂為邊作Rt△A₂OB₂，使∠A₂OB₂=90°，∠B₂=30°，…，以同樣的作法可得到Rt△A_nOB_n，則當n=2017時，點A₂₀₁₇的縱坐標為（　�。�

• A． （$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²⁰¹⁷
• B． -（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²⁰¹⁷
• C． （$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²⁰¹⁸
• D． -（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²⁰¹⁸

Answer 1

分析 由每次旋轉30°可知，點所在的射線以12為周期循環(huán)，所以A₂₀₁₇在射線OA₁上，故排除B、D，再找到三角形的變化規(guī)律即可解題．

解答 解：在Rt△AOB中，OA=1，OB=$\sqrt{3}$，
∴∠ABO=30°，
∵OA₁⊥AB，
∴A₁O=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∠AOA₁=30°，
可知每次逆時針旋轉30°，點所在的射線以12為周期循環(huán)，
∵且每次旋轉后，原三角形的高變新的直角邊，
∴三角形依次減小，且相似比為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
2017÷12=168…余1，所以當n=2017時，點A₂₀₁₇的縱坐標與A1的縱坐標在同一條射線上，
且OA₂₀₁₇=${（\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2017}$，
過點A₁作A₁E⊥OB于E，
∴∠EA₁O=30°，
∴OE=$\frac{1}{2}$A₁O=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，A₁的縱坐標=A₁E=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA₁，
點A₂₀₁₇的縱坐標為$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA₂₀₁₇=${（\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2018}$，
故選C．

點評 本題考查了含30°直角三角形的性質(zhì)，考查了相似三角形規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，本題中根據(jù)相似比求OA₂₀₁₇的長是解題的關鍵．