Question

已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，直線l₁∥直線l₂，l₁與l₂之間的距離為1，l₁、l₂與正方形ABCD的邊總有交點(diǎn)。

（1）如圖（1），當(dāng)l₁⊥AC于點(diǎn)A，l₂⊥AC交邊DC、BC分別于E、F時(shí)，求△EFC的周長(zhǎng)；
（2）把圖（1）中的l₁與l₂同時(shí)向右平移x個(gè)單位，得到圖（2），問△EFC與△AMN的周長(zhǎng)的和是否隨x的變化而變化，若不變，求出△EFC與△AMN的周長(zhǎng)的和；若變化，請(qǐng)說明理由；
（3）把圖（2）中的正方形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，得到圖（3），問△EFC與△AMN的周長(zhǎng)的和是否隨α的變化而變化，若不變，求出△EFC與△AMN的周長(zhǎng)的和；若變化，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

解：（1）如圖（1），∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1， ∴AC=， 又∵直線l1∥直線l2，l1與l2之間的距離為1， ∴CG=-1， ∴EF=2-2，EC=CF=2-， ∴△EFC的周長(zhǎng)為EF+EC+CF=2；
（2）△EFC與△AMN的周長(zhǎng)的和不隨x的變化而變化，如圖（2）， 把l1、l2向左平移相同的距離，使得l1過A點(diǎn)， 即l1平移到l4，l2平移到l3，過E、F分別作l3的垂線，垂足為R，G 可證△AHM≌△ERP，△AHN≌△FGQ ∴AM=EP，HM=PR，AN=FQ，HN=GQ ∴△EFC與△AMN的周長(zhǎng)的和為△CPQ的周長(zhǎng)， 由已知可計(jì)算△CPQ的周長(zhǎng)為2 ∴△EFC與△AMN的周長(zhǎng)的和為2；
（3）△EFC與△AMN的周長(zhǎng)的和不隨α變化而變化， 如圖（3），把l1、l2平移相同的距離，使得l1過A點(diǎn)，即l1平移到l4，l2平移到l3，過E、F分別作l3的垂線，垂足為R，S， 過A作l1的垂線，垂足為H，可證△AHM≌△FSQ，△AHN≌△ERP ∴AM=FQ，HM=SQ，AN=EP，HN=PR ∴△EFC與△AMN的周長(zhǎng)的和為△CPQ的周長(zhǎng)，如圖（4）， 過A作l3的垂線，垂足為T連接AP、AQ可證△APT≌△APD，△AQT≌△AQB， ∴DP=PT，BQ=TQ ∴△CPQ的周長(zhǎng)為DP+PC+CQ+QB=DC+CB=2 ∴△EFC與△AMN的周長(zhǎng)的和為2