Question

如圖所示，?ABCD中，AM⊥BC于M，AN⊥CD于N，已知AB=10，BM=5，MC=3，則MN的長為

 

．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：根據(jù)題意，在Rt△ABM中利用勾股定理算出AM=5

3

，根據(jù)三角函數(shù)定義得∠B=60°且∠BAM=30°．由平行四邊形的性質(zhì)，得∠D=60°且∠BAD=120°．在Rt△ADN中算出
AN=ADsin60°=4

3

，最后在△AMN中利用余弦定理加以計算，即可得到MN的長．

解答：解：∵AM⊥BC，AB=10，BM=5，
∴Rt△ABM中，AM=

AB2-BM2

=5

3

，
cosB=

BM

AB

=

1

2

，可得∠B=60°，∠BAM=30°
∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠D=∠B=60°，∠BAD=120°
∵AN⊥CD，AD=BC=BM+MC=8
∴在Rt△ADN中，AN=ADsin60°=4

3

，∠DAN=90°-∠D=30°
∵△AMN中，AM=5

3

，∠MAN=∠BAD-∠BAM-∠DAN=30°，
∴由余弦定理，得
MN²=AM²+AN²-2•AM•AN•cos60°=75+48-2×5

3

×4

3

×

1

2

=63
∴MN=

63

=3

7

故答案為：3

7

點評：本題給出平行四邊形的兩條高線，在已知兩邊長度的情況下求高線的垂足之間的距離．著重考查了平行四邊形的性質(zhì)、解三角形和進行簡單的演繹推理等知識，屬于中檔題．