Question

在平面直角坐標系中，拋物線與軸的兩個交點分別為A（-3，0）、B（1，0），過頂點C作CH⊥x軸于點H.
（1）求拋物線的解析式和頂點坐標；
（2）在軸上是否存在點D，使得△ACD是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，說明理由；
（3）若點P為x軸上方的拋物線上一動點（點P與頂點C不重合），PQ⊥AC于點Q，當△PCQ與△ACH相似時，求點P的坐標.

Answer 1

解：（1）由題意，得
解得，
拋物線的解析式為y=-x²-2x+3
頂點C的坐標為（-1，4）
（2）假設在y軸上存在滿足條件的點D, 過點C作CE⊥y軸于點E.

由∠CDA=90°得，∠1+∠2=90°. 又∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠1. 又∵∠CED=∠DOA =90°，
∴△CED∽△DOA，
∴.
設D（0，c），則. 
變形得，解之得.
綜合上述：在y軸上存在點D（0，3）或（0，1），
使△ACD是以AC為斜邊的直角三角形. 
（3）①若點P在對稱軸右側（如圖①），

只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH.
延長CP交x軸于M，∴AM=CM， ∴AM²=CM².
設M（m，0），則( m+3)²=4²+(m+1)²，∴m=2，即M（2，0）.
設直線CM的解析式為y=k₁x+b₁，
則， 解之得，.
∴直線CM的解析式.
，
解得， (舍去).
.           
∴.
②若點P在對稱軸左側（如圖②），

只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH.
過A作CA的垂線交PC于點F，作FN⊥x軸于點N.
由△CFA∽△CAH得，
由△FNA∽△AHC得.
∴, 點F坐標為（-5,1）.
設直線CF的解析式為y=k₂x+b₂，則，解之得.
∴直線CF的解析式. 
，
解得， (舍去).
∴.   
∴滿足條件的點P坐標為或 

解析