Question

某校研究性學(xué)習(xí)小組在研究有關(guān)二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)的問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)重要的結(jié)論：一是發(fā)現(xiàn)拋物線y＝ax²＋2x＋3(a≠0)，當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，它的頂點(diǎn)都在某條直線上；二是發(fā)現(xiàn)當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，若把拋物線y＝ax²＋2x＋3的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)減少，縱坐標(biāo)增加，得到A點(diǎn)的坐標(biāo)；若把頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加，縱坐標(biāo)增加，得到B點(diǎn)的坐標(biāo)，則A、B兩點(diǎn)一定仍在拋物線y＝ax²＋2x＋3上．

(1)請你協(xié)助探求出當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，拋物線y＝ax²＋2x＋3的頂點(diǎn)所在直線的解析式；

(2)問題(1)中的直線上有一個(gè)點(diǎn)不是該拋物線的頂點(diǎn)，你能找出它來嗎？并說明理由；

(3)在他們第二個(gè)發(fā)現(xiàn)的啟發(fā)下，運(yùn)用“一般——特殊——一般”的思想，你還能發(fā)現(xiàn)什么？你能用數(shù)學(xué)語言將你的猜想表達(dá)出來嗎？你的猜想能成立嗎？若能成立，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)當(dāng)a＝1時(shí)，的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，2)，當(dāng)時(shí)，的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，4)．設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在直線上， 　　將(－1，2)、(1，4)代入，得 　　 　　解得 　　 　　即拋物線的頂點(diǎn)在直線上． 　　(或由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，得其頂點(diǎn)在直線上) 　　(2)直線上有一個(gè)點(diǎn)(0，3)不是該拋物線的頂點(diǎn)． 　　∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為． 　　∴當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo) 　　∴(0，3)點(diǎn)不是該拋物線的頂點(diǎn)． 　　(3)得出猜想：對于拋物線將其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加或減少，縱坐標(biāo)增加，所得到的兩個(gè)點(diǎn)一定仍在拋物線上．(其他猜想，只要合理也對) 　　理由：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 　　∴將其橫坐標(biāo)減少，縱坐標(biāo)增加，得 　　 　　同樣可得 　　把代入 　　 　　∴點(diǎn)A在拋物線上． 　　同理可證點(diǎn)B在拋物線上． 　　∴所提出猜想能夠成立．(此問題可利用的形式進(jìn)行證明，過程同上)