Question

已知：二次函數(shù)y=ax²+2ax的圖象與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為A，將點(diǎn)A繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后得點(diǎn)B．
（1）若B點(diǎn)在已知的二次函數(shù)的圖象上，求a的值；
（2）在（1）的條件下，設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為C，判斷直線OC與△AOB的外接圓位置關(guān)系．

Answer 1

解：（1）∵y=ax²+2ax=ax（x+2），
∴當(dāng)y=0時(shí)，ax（x+2）=0，
解得：x=0或x=-2，
∵二次函數(shù)y=ax²+2ax的圖象與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為A，
∴點(diǎn)A（-2，0），
即OA=2，
∵將點(diǎn)A繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后得點(diǎn)B．
∴∠AOB=120°，OB=OA=2，
∴∠BOD=30°，
過點(diǎn)B作BD⊥y軸于點(diǎn)D，
∴BD=OB=1，OD=OB=，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，），
∵B點(diǎn)在已知的二次函數(shù)的圖象上，
∴a+2a=，
解得：a=；

（2）直線OC與△AOB的外接圓相切．
理由：設(shè)OB的中點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作EF⊥OB交AO的垂直平分線于點(diǎn)E，連接OE，
即點(diǎn)E是△AOB外接圓的圓心；
∵AO的垂直平分線即是拋物線的對(duì)稱軸，
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為-1，
∵直線OB的解析式為：y=x，
∴設(shè)直線EF的解析式為：y=-x+b，
∵點(diǎn)F（1，），
∴-+b=，
解得：b=，
∴直線EF的解析式為：y=-x+，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-1，），
∴tan∠EOG=，
∴∠EOG=60°，
∵y=x²+x=（x+1）²-，
∴點(diǎn)C（-1，-），
∴tan∠COG=，
∴∠COG=30°，
∴∠COE=∠COG+∠EOG=90°，
即EO⊥OC，
∴直線OC與△AOB的外接圓相切．
分析：（1）由二次函數(shù)y=ax²+2ax的圖象與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為A，易求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，又由將點(diǎn)A繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后得點(diǎn)B，可得∠BOD=30°，OB=OA=2，然后過點(diǎn)B作BD⊥y軸于點(diǎn)D，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，再代入二次函數(shù)的解析式，即可求得a的值；
（2）由△AOB的外接圓的圓心是△AOB的三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，可設(shè)OB的中點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作EF⊥OB交AO的垂直平分線于點(diǎn)E，連接OE，確定點(diǎn)E是△AOB外接圓的圓心；然后求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，可證得OE⊥OC，即可判定直線OC與△AOB的外接圓相切．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的外接圓以及切線的判定．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．