Question

如圖，點A在x軸上，OA=4，將線段OA繞點O順時針旋轉120°至OB的位置．
（1）求點B的坐標；
（2）求經過點A．O、B的拋物線的解析式；
（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由．
      

Answer 1

解：（1）如圖，過B點作BC⊥x軸，垂足為C，則∠BCO=90°。
∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°。
又∵OA=OB=4，
∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=。
∴點B的坐標為（﹣2，﹣）。
（2）∵拋物線過原點O和點A．B，
∴可設拋物線解析式為y=ax²+bx，將A（4，0），B（﹣2，﹣）代入，       
得，解得。
∴此拋物線的解析式為。
（3）存在。
如圖，拋物線的對稱軸是x=2，直線x=2與x軸的交點為D，
設點P的坐標為（2，y）。

①若OB=OP，則2²+|y|²=4²，解得y=±，
當y=時，
在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD=，
∴∠POD=60°
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三點在同一直線上。
∴y=不符合題意，舍去。
∴點P的坐標為（2，﹣）。
②若OB=PB，則4²+|y+|²=4²，解得y=﹣。
∴點P的坐標為（2，﹣）。
③若OP=BP，則2²+|y|²=4²+|y+|²，解得y=﹣。
∴點P的坐標為（2，﹣）。
綜上所述，符合條件的點P只有一個，其坐標為（2，﹣）。

解析