Question

已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)A在x軸上，與y軸的交點(diǎn)為B（0，1），且b=-4ac。

（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)C，使以BC為直徑的圓經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)A？若不存在說(shuō)明理由；若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出此時(shí)圓的圓心點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)（2）小題的結(jié)論，你發(fā)現(xiàn)B、P、C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間、縱坐標(biāo)之間分別有何關(guān)系？

Answer 1

解：（1）由拋物線過(guò)B(0，1) 得c=1， 又b=-4ac，頂點(diǎn)A(-，0)， ∴-==2c=2，∴A(2，0)， 將A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式，得4a+2b+1=0， ∴， 解得：a=，b=-1， 所以，拋物線的解析式為y=x2-x+1。
（2）假設(shè)符合題意的點(diǎn)C存在，其坐標(biāo)為C(x，y)， 　　　　　　　　　　　　 作CD⊥x軸于D ，連接AB、AC， ∵A在以BC為直徑的圓上， ∴∠BAC=90°， ∴△AOB∽△CDA， ∴OB·CD=OA·AD， 即1·y=2(x-2)， ∴y=2x-4， 由， 解得：x1=10，x2=2， ∴符合題意的點(diǎn)C存在，且坐標(biāo)為(10，16)或(2，0)， ∵P為圓心，∴P為BC的中點(diǎn)， 當(dāng)點(diǎn)C坐標(biāo)為 (10，16)時(shí)，取OD中點(diǎn)P1，連結(jié)PP1，　 則PP1為梯形OBCD中位線， ∴PP1=(OB+CD)=， ∵D (10，0)，∴P1 (5，0)，∴P (5，)； 當(dāng)點(diǎn)C坐標(biāo)為 (2，0)時(shí)， 取OA中點(diǎn)P2，連結(jié)PP2， 則PP2為△OAB的中位線， ∴PP2=OB=， ∵A(2，0)，∴P2(1，0)，∴P(1，)， 故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5，)或(1，)。
（3）設(shè)B、P、C三點(diǎn)的坐標(biāo)為B(x1，y1)，P(x2，y2)，C(x3，y3)， 由（2）可知：。