Question

3．如圖．已知⊙O中，△OMN是等腰三角形OB、OC分別交AC、DB于點(diǎn)M，N，求證：$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$．

Answer 1

分析 由SAS證明△OBN≌△OCM，得出∠BNO=∠CMO，∠OBN=∠OCM，再由等腰三角形的性質(zhì)證出∠ACB=∠DBC，由圓周角定理得出$\widehat{AB}=\widehat{CD}$，連接BC，證出MN∥BC，作OE⊥BC于E，則O、F、E三點(diǎn)共線，得出F為△OBC三條高的交點(diǎn)，因此OM⊥AC，由垂徑定理得出$\widehat{AB}=\widehat{BC}$，即可得出結(jié)論．

解答 證明：∵△OMN是等腰三角形，
∴OM=ON，
在△OBN和△OCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}&{\;}\\{∠O=∠O}&{\;}\\{ON=OM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OBN≌△OCM（SAS），
∴∠BNO=∠CMO，∠OBN=∠OCM，
∵OA=OB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ACB=∠DBC，
∴$\widehat{AB}=\widehat{CD}$，
連接BC，如圖所示：
∵OM=ON，OB=OC，
∴OM：OB=ON：OC，
∴MN∥BC，
作OE⊥BC于E，則O、F、E三點(diǎn)共線，
∵OB=OC，OE⊥BC，
∴F為△OBC三條高的交點(diǎn)，
∴OM⊥AC，
∴$\widehat{AB}=\widehat{BC}$，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、平行線的判定等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，需要通過作輔助線才能得出結(jié)論．