Question

【題目】如圖1，與都是等腰直角三角形，直角邊，在同一條直線上，點(diǎn)、分別是斜邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，，，，．

（1）觀察猜想：

圖1中，與的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______．

（2）探究證明：

將圖1中的繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（），得到圖2，與、分別交于點(diǎn)、，請(qǐng)判斷（1）中的結(jié)論是否成立，若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）拓展延伸：

把繞點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)，若，，請(qǐng)直接列式求出面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）結(jié)論仍成立，證明見(jiàn)解析；（3）的面積的最大值

【解析】

（1）延長(zhǎng)AE交BD于點(diǎn)H，易證，得，，進(jìn)而得，結(jié)合中位線的性質(zhì)，得，，，，進(jìn)而得，；

（2）設(shè)交于，易證，得，，進(jìn)而得，結(jié)合中位線的性質(zhì)，得，，，，進(jìn)而得，；

（3）易證是等腰直角三角形，，當(dāng)、、共線時(shí)，的值最大，進(jìn)而即可求解．

（1）如圖1，延長(zhǎng)AE交BD于點(diǎn)H，

∵和是等腰直角三角形，

∴，，

，

∴，

∴，

∴（SAS），

∴，，

又∵，

∴，

∵點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)，

∴，，，，

∴，

∴PM⊥AH，

∴．

故答案是：，；

（2）（1）中的結(jié)論仍成立，理由如下：

如圖②中，設(shè)交于，

∵和是等腰直角三角形，

∴，，

，

∴，

∴，

∴（SAS），

∴，

又∵，

∴，

∵點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)，

∴，，，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

（3）由（2）可知是等腰直角三角形，，

∴當(dāng)的值最大時(shí)，的值最大，的面積最大，

∴當(dāng)、、共線時(shí)，的最大值，

∴，

∴的面積的最大值．