Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，PB為⊙O的切線，B為切點，OP⊥弦BC于點D且交⊙O于點E。

（1）求證：∠OPB=∠AEC；
（2）若點C為半圓的三等分點，請你判斷四邊形AOEC為哪種特殊四邊形？并說明理由。

Answer 1

解：（1）∵AB是⊙O的直徑，PB為⊙O的切線， ∴PB⊥AB， ∴∠OPB+∠POB=90°， ∵OP⊥BC， ∴∠ABC+∠POB=90°， ∴∠ABC=∠OPB， 又∠AEC=∠ABC， ∴∠OPB=∠AEC； （2）四邊形AOEC是菱形； ∵OP⊥弦BC于點D且交⊙O于點E， ∴， ∵C為半圓的三等分點， ∴， ∴∠ABC=∠ECB， ∴AB∥CE， ∵AB是⊙O的直徑， ∴AC⊥BC， 又OP⊥弦BC于點D且交⊙O于點E， ∴AC∥OE， ∴四邊形AOEC是平行四邊形， 又OA=OE， ∴四邊形AOEC是菱形；