Question

已知點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，P為線段AB外一點(diǎn)，過P作直線l，分別過A、B作直線l的垂線段AM、BN；
（1）當(dāng)點(diǎn)O在直線l上時(shí)，求證：OM=ON；
（2）直角三角形斜邊上的中線有下列性質(zhì)：斜邊上的中線等于斜邊的一半．
請(qǐng)你利用這一性質(zhì)回答問題：當(dāng)點(diǎn)O不在直線l上時(shí)，OM=ON嗎？

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線

專題：

分析：（1）證出△AMO≌△BNO，據(jù)此即可解答；
（2）作AC∥l，延長(zhǎng)BN交AC于C，連接OC；作BD∥l，延長(zhǎng)AM交BD于D，連接OD．證出△MAO≌△NCO即可解答．

解答：解：（1）在Rt△AMO和Rt△BNO中，

∠AMO=∠BNO ∠MOA=∠NOB AO=BO

，
∴△AMO≌△BNO（AAS），
∴OM=ON．
（2）OM=ON．
作AC∥l，延長(zhǎng)BN交AC于C，連接OC；作BD∥l，延長(zhǎng)AM交BD于D，連接OD．
可知，∠ACB=90°，AM=CN．
∵O為AB的中點(diǎn)，
∴CO=AO，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAM=∠OCN，
在△MAO和△NCO中，

MA=NC ∠OAM=∠OCN AO=CO

，
∴△MAO≌△NCO（ASA），
∴OM=ON．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，正確作出輔助線，構(gòu)造所需圖形是解題的關(guān)鍵．