Question

14．已知，△ABC是等腰三角形，AB=AC．
（1）當(dāng)AD=AE，∠DAE=∠BAC時，
①特殊情形：如圖①，若點D、E分別在邊AB、AC上，則DB=EC．（填“＞”、“＜”或“=”）．
②發(fā)現(xiàn)探究：如圖②，若將圖①中的△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點D在△ABC外部，點E在△ABC內(nèi)部時，①中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．
（2）拓展運用：如圖③，點P在△ABC內(nèi)部，∠BAC=90°，且PA=2，PB=1，PC=3，則∠APB的大小為135度．

Answer 1

分析 （1）①由DE∥BC，得到 $\frac{DB}{AB}$=$\frac{EC}{AC}$，結(jié)合AB=AC，得到DB=EC；②由旋轉(zhuǎn)得到的結(jié)論判斷出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；
（2）由旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出△CPB≌△CEA，再用勾股定理計算出PE，然后用勾股定理逆定理判斷出△PEA是直角三角形，在簡單計算即可．

解答 解：（1）①∵DE∥BC，
∴$\frac{DB}{AB}$=$\frac{EC}{AC}$，
∵AB=AC，
∴DB=EC，
故答案為：=，

②成立．
證明：由①易知AD=AE，
∴由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知∠DAB=∠EAC，
在△DAB和△EAC中
 $\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠DAB=∠EAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△DAB≌△EAC，
∴DB=CE，

（2）如圖，

將△CPB繞點C旋轉(zhuǎn)90°得△CEA，連接PE，
∴△CPB≌△CEA，
∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，
∴∠CEP=∠CPE=45°，
在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE=2 $\sqrt{2}$，
在△PEA中，PE²=（2 $\sqrt{2}$）²=8，AE²=1²=1，PA²=3²=9，
∵PE²+AE²=AP²，
∴△PEA是直角三角形
∴∠PEA=90°，
∴∠CEA=135°，
又∵△CPB≌△CEA
∴∠BPC=∠CEA=135°．
故答案為135°．

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理及其逆定理，解本題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形，也是本題的難點．