Question

已知如圖，AD∥BC，E為DC上一點，∠1=∠2，∠3=∠4．求證：CE=ED．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：由AD與BC平行，得到一對同旁內(nèi)角互補，根據(jù)已知角相等，等量代換得到∠2+∠3為90°，進而確定出∠AEB為直角，在AB上取D，使AF=AD，利用SAS得到三角形AED與三角形AEF全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等得到DE=FE，∠AED=∠AEF，利用等角的余角相等得到∠CEB=∠FEB，再由∠3=∠4，及夾邊相等，利用ASA得到三角形BCE與三角形BFE全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到EF=CE，等量代換即可得證．

解答：證明：∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=90°，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠3=

1

2

（∠DAB+∠CBA）=90°，
∴∠AEB=90°，
在AB上取一點F，使得AF=AD，
在△ADE和△AFE中，

AF=AD ∠1=∠2 AE=AE

，
∴△ADE≌△AFE（SAS），
∴DE=FE，∠AED=∠AEF，
∵∠AEF+∠BEF=90°=∠AED+∠CEB，
∴∠BEF=∠BEC，
在△BEF和△BEC中，

∠BEF=∠BEC BE=BE ∠3=∠4

，
∴△NEF≌△BEC（ASA），
∴FE=CE，
則FE=CE=DE．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．