Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=b，AB=c，若D、E分別是AB和AB延長(zhǎng)線上的兩點(diǎn)，BD=BC，CE⊥CD，以AD和AE的長(zhǎng)為根的一元二次方程是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,根與系數(shù)的關(guān)系,直角三角形斜邊上的中線

專(zhuān)題：

分析：設(shè)BC=a，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠BDC=∠BCD，再根據(jù)等角的余角相等求出∠BCE=∠E，根據(jù)等角對(duì)等邊可得BC=BE，然后表示出AD、AE，再利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出AD+AE，AD•AE，根據(jù)勾股定理可得b²=c²-a²，整理后寫(xiě)出方程即可．

解答：解：設(shè)BC=a，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD，
∵CE⊥CD，
∴∠BCE+∠BCD=∠E+∠BDC=90°，
∴∠BCE=∠E，
∴BC=BE=a，
∵AC=b，AB=c，
∴AD=AB-BD=c-a，
AE=AB+BE=c+a，
∴AD+AE=c-a+c+a=2c，
AD•AE=（c-a）（c+a）=c²-a²，
由勾股定理得，b²=c²-a²，
∴AD•AE=b²，
∴以AD和AE的長(zhǎng)為根的一元二次方程是x²-2cx+b²=0．
故答案為：x²-2cx+b²=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，用a、c表示出AD、AE是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．