Question

10．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，2），點A的坐標為（-1，0），點B的坐標為（2，0），連接AC，BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖①，P是線段BC上一點，設(shè)△ABP、△APC的面積分別為S_△ABP、S_△APC，S_△ABP：S_△APC=3：2．若此時以P為圓心的圓與x軸相切，求該圓的半徑；
（3）如圖②，M為線段AC上一動點，N為拋物線對稱軸上一動點，連接OM，MN，AN，試求OM+MN+AN的最小值，并求出此時點N的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法求得即可；
（2）過A作AH⊥BC于H，根據(jù)S_△ABP：S_△APC=3：2求得BP：CP=3：2，過P作PP′⊥x軸于P′，則△BPP′∽△BCO，根據(jù)相似三角形對應邊成比例即可求得PP′=$\frac{3}{5}$CO=$\frac{6}{5}$，得出以P為圓心，與x軸相切的圓的半徑；
（3）作點O關(guān)于AC的對稱點O′，OO′交AC于H，過O′作O′T⊥x軸于T．先證得△O′TO∽△AOC．得出$\frac{O′T}{OA}$=$\frac{OO′}{AC}$=$\frac{OT}{OC}$，根據(jù)勾股定理求得AC，然后根據(jù)三角形面積公式求得OH，即可求得OO′，然后根據(jù)正弦函數(shù)求得sin∠O′OT=$\frac{O′T}{OO′}$=sin∠ACO=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，從而求得O′T=$\frac{4}{5}$，同理OT=$\frac{8}{5}$，即可求得O′的坐標，連接O′M，BN，由于OM=O′M，AN=BN，所以O(shè)M+MN+AN=O′M+MN+BN．可知當O′，M，N，B在一條直線上時OM+MN+AN取最小值；根據(jù)勾股定理求得O′B=$\frac{2}{5}$$\sqrt{85}$，即OM+MN+AN的最小值；根據(jù)O′（-$\frac{8}{5}$，$\frac{4}{5}$），B（2，0），求得直線O′B的解析式為：y=-$\frac{2}{9}$x+$\frac{4}{9}$，由A（-1，0），B（2，0），求得拋物線的對稱軸x=$\frac{1}{2}$，把x=$\frac{1}{2}$代入直線O′B的解析式即可求得N的坐標．

解答 解：（1）依題意得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=1}\\{c=2}\end{array}\right.$．
故拋物線的解析式為：y=-x²+x+2；

（2）如圖①，過A作AH⊥BC于H，S_△ABP=$\frac{1}{2}$BP•AH，S_△APC=$\frac{1}{2}$CP•AH，
∴S_△ABP：S_△APC=BP：CP=3：2，
過P作PP′⊥x軸于P′，則△BPP′∽△BCO．
∴$\frac{PP′}{CO}$=$\frac{BP}{BC}$=$\frac{3}{5}$．
∴PP′=$\frac{3}{5}$CO=$\frac{6}{5}$．
∵以P為圓心的圓與x軸相切，
∴該圓半徑=PP′=$\frac{6}{5}$，

（3）如圖②，由已知A、B兩點關(guān)于對稱軸對稱，作點O關(guān)于AC的對稱點O′，OO′交AC于H，過O′作O′T⊥x軸于T．
∵OO′⊥AC，
∴∠AOH與∠OAC互余
又∵∠C與∠OAC互余，
∴∠AOH=∠C．
∵∠OTO′=∠AOC=90°，
∴△O′TO∽△AOC．
∴$\frac{O′T}{OA}$=$\frac{OO′}{AC}$=$\frac{OT}{OC}$．
∵C（0，2），A（-1，0），
∴AC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵S_△AOC=$\frac{1}{2}$OA•OC=$\frac{1}{2}$AC•OH，
∴OO′=2OH=2×$\frac{OA•OC}{AC}$=$\frac{4}{5}$$\sqrt{5}$，
∵sin∠O′OT=$\frac{O′T}{OO′}$=sin∠ACO=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴O′T=$\frac{4}{5}$，同理OT=$\frac{8}{5}$．
∴O′（-$\frac{8}{5}$，$\frac{4}{5}$）．
連接O′M，BN，
∵OM=O′M，AN=BN，
∴OM+MN+AN=O′M+MN+BN．
可知當O′，M，N，B在一條直線上時OM+MN+AN取最小值．
O′B=$\sqrt{O′{T}^{2}+B{T}^{2}}$=$\frac{2}{5}$$\sqrt{85}$．
∵O′（-$\frac{8}{5}$，$\frac{4}{5}$），B（2，0），
∴直線O′B的解析式為：y=-$\frac{2}{9}$x+$\frac{4}{9}$，
∵A（-1，0），B（2，0），
∴拋物線的對稱軸x=$\frac{1}{2}$，
把x=$\frac{1}{2}$代入得，y=$\frac{1}{3}$
∴N（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$）．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理的應用，正弦函數(shù)以及最短路線問題，熟練掌握待定系數(shù)法，三角形相似的判定定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．