Question

（2010•金華）如圖在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)，O分別是AB，CD，AD的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心，以O(shè)E為半徑畫弧EF．P是上的一個動點(diǎn)，連接OP，并延長OP交線段BC于點(diǎn)K，過點(diǎn)P作⊙O的切線，分別交射線AB于點(diǎn)M，交直線BC于點(diǎn)G．若=3，則BK=    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)MG與⊙O相切得OK⊥MG．設(shè)直線OK交AB的延長線于點(diǎn)H，易證∠MGB=∠BHK．根據(jù)三角函數(shù)定義，tan∠MGB=tan∠BHK==，從而有AH=3，BH=3BK．因?yàn)锳B=2，所以BH=1，可求BK．
P為動點(diǎn)，當(dāng)P接近F點(diǎn)時，本題另有一個解．
解答：解：（1）若OP的延長線與射線AB的延長線相交，設(shè)交點(diǎn)為H．如圖1，
∵M(jìn)G與⊙O相切，
∴OK⊥MG．
∵∠BKH=∠PKG，
∴∠MGB=∠BHK．
∵=3，
∴tan∠BHK=．
∴AH=3AO=3×1=3，
BH=3BK．
∵AB=2，
∴BH=1，
∴BK=．

（2）若OP的延長線與射線DC的延長線相交，設(shè)交點(diǎn)為H．如圖2，
同理可求得BK=．

綜上所述，本題應(yīng)填．
點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)及三角函數(shù)等知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大．
本題需要特別注意有2個解，不要漏解．