Question

1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=4，點D在AB邊上，點E在BC邊上，且∠CDE=30°，AD=1，則BE的長=$\frac{35\sqrt{3}}{12}$．

Answer 1

分析 根據題意可得出AB=8，BC=4$\sqrt{3}$，BD=AB-AD=7，設BE=x，則CE=4$\sqrt{3}$-x，然后判斷△CDE∽△CBD，繼而利用相似三角形的性質可得關于x的方程，解方程求出x的值即可．

解答 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°
∵AC=4，
∴AB=8，
∴BC=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，BD=AB-AD=7，
在△ACD中，利用余弦定理可得CD²=AC²+AD²-2AC•ADcos∠A=16+1-4=13，
∴CD=$\sqrt{13}$，
又∵∠CDE=∠CBD=30°，∠ECD=∠DCB（同一個角），
∴△CDE∽△CBD，
∴$\frac{CE}{CD}=\frac{CD}{CB}$，
設BE=x，則CE=4$\sqrt{3}$-x，
即$\frac{4\sqrt{3}-x}{\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{13}}{4\sqrt{3}}$，
解得：x=$\frac{35\sqrt{3}}{12}$，
∵BE=$\frac{35\sqrt{3}}{12}$，
故答案為：$\frac{35\sqrt{3}}{12}$．

點評 此題考查了相似三角形的判定和性質以及含30度角的直角三角形的性質：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．解答本題的關鍵是判斷出△CDE∽△CBD，利用余弦定理得出CD的長．