Question

一位同學拿了兩塊45°三角尺△MNK，△ACB做了一個探究活動：將△MNK的直角頂點M放在△ABC的斜邊AB的中點處，設AC=BC=4．
（1）如圖（1），兩三角尺的重疊部分為△ACM，則重疊部分的面積為______，周長為______．
（2）將圖（1）中的△MNK繞頂點M逆時針旋轉45°，得到圖（2），此時重疊部分的面積為______，周長為______．
（3）如果將△MNK繞M旋轉到不同于圖（1）和圖（2）的圖形，如圖（3），請你猜想此時重疊部分的面積為______．

Answer 1

解：（1）∵AC=BC=4，
∴AB===4，
∵M是AB的中點，
∴CM⊥AB，AM=CM=AB=×4=2，
∴陰影部分的面積=AM•CM=×2×2=4，
周長=AB+AM+CM=4+2+2=4+4；

（2）設MN與AC的交點為D，BC與MK的交點為G，
∵旋轉角是45°，
∴∠AMD=45°，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∴∠AMD=∠B=45°，
∴DM∥BC，
∵M是AB的中點，
∴DM是△ABC的中位線，
∴DM=BC=×4=2，
同理可得，MG=AC=×4=2，
∴四邊形DCGM是正方形，
∴陰影部分的面積=2²=4，
周長=2×4=8；

（3）如圖，過點M作ME⊥AC于E，作MF⊥BC于F，
∵M是等腰直角△ABC斜邊AB的中點，
∴四邊形ECMF是正方形，
∴ME=MF，
∵∠DME+∠EMG=∠NMK=90°，
∠GMF+∠EMG=∠EMF=90°，
∴∠DME=∠GMF，
在△DME和△GMF中，
，
∴△DME≌△GMF（ASA），
∴S_△DME=S_△GMF，
∴陰影部分的面積=正方形ECMF的面積，
∵M是AB的中點，
∴ME是△ABC的中位線，
∴ME=BC=×4=2，
∴正方形ECMF的面積=2²=4，
∴陰影部分的面積=4．
故答案為：（1）4，4+4；（2）4，8；（3）4．
分析：（1）利用勾股定理列式求出AB，再根據等腰直角三角形的性質可得CM⊥AB，AM=CM=AB，然后求解即可；
（2）設MN與AC的交點為D，BC與MK的交點為G，根據旋轉角是45°求出∠AMD=45°，然后根據同位角相等，兩直線平行求出DM∥BC，從而判定DM是△ABC的中位線，然后求出DM=BC，同理求出MG=AC，判斷出四邊形DCGM是正方形，再根據正方形的性質求出面積與周長即可；
（3）過點M作ME⊥AC于E，作MF⊥BC于F，可得四邊形ECMF是正方形，根據正方形的性質可得ME=MF，再根據同角的余角相等求出∠DME=∠GMF，然后利用“角邊角”證明△DME和△GMF全等，根據全等三角形面積相等可得△DME和△GMF的面積相等，然后求出陰影部分的面積等于正方形ECMF的面積，根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出ME，然后求解即可．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，以及正方形的判定與性質，（3）作輔助線構造出全等三角形與正方形并求出陰影部分的面積等于正方形的面積是解題的關鍵．