Question

閱讀：已知（x+1）（2x-3）=2x²-x-3，那么多項式2x²-x-3除以x+1的商是2x-3．
解決問題：
（1）已知關(guān)于x的二次多項式除以x-5，商是2x+6，余式是2，求這個多項式；
（2）已知關(guān)于x的多項式3x²+mnx+n除以x+1的商是3x-5，余式是x，求m、n的值；
（3）已知關(guān)于x的三次多項式除以x²-1時，余式是2x-5；除以x²-4時，余式是-3x+4，求這個三次多項式．

Answer 1

考點：整式的除法

專題：閱讀型

分析：（1）由除法的意義可知，這個多項式為被除式，由被除式=除式×商式+余式，然后根據(jù)多項式乘多項式的法則計算；
（2）根據(jù)被除式=除式×商式+余式得出3x²+mnx+n=（x+1）（3x-5）+x，再將等式右邊化簡，然后根據(jù)多項式相等的體積即可求出m、n的值；
（3）設所求三次多項式f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），f（x）除以x²-1，x²-4時，商式分別為ax+m，ax+n，則ax³+bx²+cx+d=（x²-1）（ax+m）+2x-5①，ax³+bx²+cx+d=（x²-4）（ax+n）-3x+4②，用特值法列出方程組，從而確定a，b，c，d這4個系數(shù)．

解答：解：（1）依題意得：
（x-5）（2x+6）+2
=2x²+6x-10x-30+2
=2x²-4x-28；

（2）由題意得3x²+mnx+n=（x+1）（3x-5）+x，
∵（x+1）（3x-5）+x=3x²-5x+3x-5+x=3x²-x-5，
∴3x²+mnx+n=3x²-x-5，
∴mn=-1，n=-5，
∴m=

1

5

，n=-5；

（3）設所求三次多項式f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），
f（x）除以x²-1，x²-4時，商式分別為ax+m，ax+n，
則ax³+bx²+cx+d=（x²-1）（ax+m）+2x-5①，
ax³+bx²+cx+d=（x²-4）（ax+n）-3x+4②，
在①式中分別取x=1，-1時，
a+b+c+d=-3③，
-a+b-c+d=-7④，
在②式中分別取x=2，-2時，
8a+4b+2c+d=-2⑤，
-8a+4b-2c+d=10⑥，
聯(lián)立③④⑤⑥，解得：a=-

5

3

，b=3，c=

11

3

，d=-8．
故所求的三次多項式為-

5

3

x³+3x²+

11

3

x-8．

點評：此題考查多項式的除法，弄清被除式、除式、商、余式四者之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．其中（3）用特值法列方程組求解，難度較大．