Question

已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，點P在AC上，且∠MPN=90°，當點P為線段AC的中點，點M、N分別在線段AB、BC上時（如圖1），過點P作PE⊥AB于點E，PF⊥BC于點F，可證Rt△PME∽Rt△PNF，得出PN=PM。（不需證明）當PC=PA，點M、N分別在線段AB、BC或其延長線上，如圖2、圖3這兩種情況時，請寫出線段PN、PM之間的數(shù)量關(guān)系，并任選取一給予證明。

Answer 1

解：如圖2，如圖3中都有結(jié)論：PN=PM；
選如圖2：在Rt△ABC中，過點P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于點F，
∴四邊形BFPE是矩形，
∴∠EPF=90°，
∵∠EPM+∠MPF=∠FPN+∠MPF=90°，
可知∠EPM=∠FPN，
∴△PFN∽△PEM，
∴，
又∵Rt△AEP和Rt△PFC中：∠A=30°，∠C=60°，
∴PF=PC，PE=PA，
∴，
∵PC=PA，
∴，即：PN=PM。