Question

7．[問題情境]如圖，已知拋物線經(jīng)過定點A（1，0），它的頂點P式y(tǒng)軸正半軸上的一個動點，P點關(guān)于x軸的對稱軸為P′，過P′作x軸的平行線交拋物線于B，D兩點（B點在y軸右側(cè)），直線BA交y軸于C點，求$\frac{CA}{CB}$的值．
[特殊探究]填空：
當(dāng)P點坐標(biāo)為（0，1）時，$\frac{CA}{CB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
當(dāng)P點坐標(biāo)為（0，2）時，$\frac{CA}{CB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
[歸納證明]
若P點坐標(biāo)為（0，m）時（m）為任意正實數(shù)，猜想$\frac{CA}{CB}$的值，并證明你的猜想．
[拓展應(yīng)用]
以CB，BD為鄰邊作?DBCE，直接寫出△OAC的面積與?DBCE的面積的比值．

Answer 1

分析 特殊探究：根據(jù)關(guān)于x軸對稱，可得P′點坐標(biāo)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得B點坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得BA的解析式，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得答案；
歸納：根據(jù)關(guān)于x軸對稱，可得P′點坐標(biāo)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得B點坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得BA的解析式，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得答案；
拓展：根據(jù)相似三家形的性質(zhì)，可得△OAC的面積與△CP′B的面積的比值，根據(jù)平行四邊形的面積與△CP′B的面積，可得S_△CP′B：S_{平行四邊形DBCE}=1：4，根據(jù)等量代換，可得答案．

解答 解：特殊探究：當(dāng)P點坐標(biāo)為（0，1）時，拋物線的解析式為y=-x²+1，
P點關(guān)于x軸的對稱軸為P′，得P′（0，-1）．
當(dāng)y=-1時，x=$\sqrt{2}$，x=-$\sqrt{2}$，即B（$\sqrt{2}$，-1）．
設(shè)BA的解析式為y=kx+b，將B、A點坐標(biāo)代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{\sqrt{2}k+b=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{2}-1}\\{b=\sqrt{2}+1}\end{array}\right.$，
C點的坐標(biāo)為（0，$\sqrt{2}$+1）．
CP′=$\sqrt{2}$+2，OC=$\sqrt{2}$+1．
由相似三角形的性質(zhì)，得
$\frac{CA}{CB}$=$\frac{OC}{CP′}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
當(dāng)P點坐標(biāo)為（0，2）時，拋物線的解析式為y=-2x²+2，
P點關(guān)于x軸的對稱軸為P′，得P′（0，-2）．
當(dāng)y=-2時，x=$\sqrt{2}$，x=-$\sqrt{2}$，即B（$\sqrt{2}$，-2）．
設(shè)BA的解析式為y=kx+b，將B、A點坐標(biāo)代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{\sqrt{2}k+b=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2\sqrt{2}-2}\\{b=2\sqrt{2}+2}\end{array}\right.$，
C點的坐標(biāo)為（0，2$\sqrt{2}$+2）．
CP′=2$\sqrt{2}$+4，OC=2$\sqrt{2}$+2．
由相似三角形的性質(zhì)，得
$\frac{CA}{CB}$=$\frac{OC}{CP′}$=$\frac{2\sqrt{2}+2}{2\sqrt{2}+4}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
歸納證明：$\frac{CA}{CB}$的值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，理由如下：
當(dāng)P點坐標(biāo)為（0，m）時，拋物線的解析式為y=-mx²+m，
P點關(guān)于x軸的對稱軸為P′，得P′（0，-m）．
當(dāng)y=-m時，x=$\sqrt{2}$，x=-$\sqrt{2}$，即B（$\sqrt{2}$，-m）．
設(shè)BA的解析式為y=kx+b，將B、A點坐標(biāo)代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{\sqrt{2}k+b=-m}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-（\sqrt{2}+1）m}\\{b=（\sqrt{2}+1）m}\end{array}\right.$，
C點的坐標(biāo)為（0，$\sqrt{2}$m+m）．
CP′=$\sqrt{2}$m+2m，OC=$\sqrt{2}$m+m．
由相似三角形的性質(zhì)，得
$\frac{CA}{CB}$=$\frac{OC}{CP′}$=$\frac{\sqrt{2}m+m}{\sqrt{2}m+2m}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
拓展應(yīng)用：
$\frac{{S}_{△COA}}{{S}_{△CP′B}}$=（$\frac{CA}{CB}$）²=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=$\frac{1}{2}$；
S_△CP′B：S_{平行四邊形DBCE}=（$\frac{1}{2}$P′B•CP′）：（DB•CP′）=1：4．
$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{平行四邊形DBCE}}$=$\frac{{S}_{△AOC}}{{4}_{△CP′B}}$=$\frac{1}{8}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系得出B點坐標(biāo)，利用相似三角形的性質(zhì)得出$\frac{CA}{CB}$=$\frac{OC}{CP′}$是解題關(guān)鍵，注意要分母有理化．